Encore un problème d´arithmétique

[invitee75a2d43]

Bon ben je crois que je l´ai non?

je vous remercie tous pour votre patience.... Enfin à ce niveau là c´est plus de la patience, c´est de l´acharnement thérapeutique. Mais ça a valut le coup

Christophe
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[invitee75a2d43]

ben... ça marche pas mon truc!

[invite35452583]

Mais le fait que pi divise (x+1) ou (x-1) me suffit pour prouver que

Je continue à m'acharner. Pas immédiatement. Pour l'instant ce que tu as écrit, ton raisonnement ne suffit pas. Tous les arguments ont été donnés mais en ordre dispersé.

8 peut diviser (x+1)(x-1) mais avec 2 divise x-1 et 4 divise x+1 (pour x congru à 3 modulo 8) sans que 8 ne divise x-1 ou x+1.

Prenons un exemple on sait que 9=3² divise (x+1)(x-1).
On a vu que 3 divise x+1 ou bien x-1 (ça, c'est bien justifié).
Disons que 3 divise x+1, pourquoi a-t-on aussi 9 divise x+1 ?
on a (x+1)(x-1)=9k donc [(x+1)/3](x-1)=3k donc 3 divise ...
Il suffit ensuite de généraliser.

[invitee75a2d43]

J´ARRIVE TOUJOURS PAS À PROUVER QUE SI p_i divise (x + 1), p_iⁿⁱ divise x - 1.

[invite57a1e779]

ben... ça marche pas mon truc!

J'ai perdu le fil depuis ma première réponse, mais quelque part tu as besoin de : si n divise a+1 et a-1, alors n divise (a+1)-(a-1)=2...

[invitee75a2d43]

non, c´est pas mon problème, j´ai déja prouvé que qu´il ne peut pas diviser les 2. Mon problème c´est de prouver que si p_i divise x+1, alors x est congru à 1 mod(p_iⁿⁱ)

Désolé, aujourd´hui c´est le cafouillage burn out....

[invitee75a2d43]

Un copine qui fait aussi cet exo, prétend qu´il faut utiliser les sous-groupes de Sylow.....

[invite57a1e779]

Un copine qui fait aussi cet exo, prétend qu´il faut utiliser les sous-groupes de Sylow.....

Les sous-groupes de Sylow alors que l'on travaille dans des ANNEAUX COMMUTATIFS, autant appeler la reine d'Angleterre à la rescousse...

Je résume (en ne mettant pas les indices i) : divise , et divise l'un des facteurs ou , mais pas l'autre.
Tu devrais pouvoir facilement démontrer que le facteur divisible par l'est en fait par .

[invite35452583]

Un copine qui fait aussi cet exo, prétend qu´il faut utiliser les sous-groupes de Sylow.....

Les groupes de Sylow de Z/nZ sont les Z/qiZ. Ca fait donc un moment que l'on est dedans.

Il y a plus élégant mais bon
x+1 a une décomposition en facteurs premiers (unique)
x-1 aune décomposition en facteurs premiers (unique)
La décomposition en facteurs premiers de (x+1)(x-1) est le produit de ces deux décompositions.
Comme divise (x+1)(x-1) combien y a-t-il (au moins) de "p_i" dans cette dernière décomposition ?
Comme il ne peut y avoir du "p_i" que dans un des deux entre x+1 et x-1, combien y a-t-il (au moins) de "p_i" dans la décomposition de celui qui en contient ?