Continuité et dérivabilité de cos et sin

[invite769a1844]

Bonsoir,

en partant de la définition du cosinus et du sinus à partir du cercle unité (cf wiki: http://fr.wikipedia.org/wiki/Cosinus...cle_unit.C3.A9)

j'aimerai savoir comment on montre que les fonctions et de dans sont continues et dérivables.

Dans la théorie des séries entières, on voit qu'une série entière est infiniment dérivable, et donc continue, et que et sont des séries entières ce qui permet de conclure.

Y a t'il un autre moyen sans passer par les séries entières?

Merci pour vos réponses.
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[invite57a1e779]

Bonsoir,

en partant de la définition du cosinus et du sinus à partir du cercle unité (cf wiki: http://fr.wikipedia.org/wiki/Cosinus...cle_unit.C3.A9)

j'aimerai savoir comment on montre que les fonctions et de dans sont continues et dérivables.

Dans la théorie des séries entières, on voit qu'une série entière est infiniment dérivable, et donc continue, et que et sont des séries entières ce qui permet de conclure.

Y a t'il un autre moyen sans passer par les séries entières?

Merci pour vos réponses.

Pour utiliser la définition à partir du cercle unité, tu as un gros problème : la définition de la mesure de l'angle pour placer un point sur le cercle.

La méthode classique est de montrer que est une surjection de sur le cercle, et on a la définition des lignes trigonomériques par une série entière.

Une autre méthode est de dire que la mesure de l'angle est la longueur de l'arc de cercle qu'il sous-tend.
Il faut donc paramétrer le cercle, ou au moins l'arc qui intéresse, par exemple par .
On obtient la mesure de l'angle pour l'angle de paramètre par :

Les lignes trigonométriques sont alors définies par :

.
Il faut pour ce faire montrer que est bijective, et que la bijection réciproque est dérivable.
On obtient ainsi une définition des lignes trigonométriques sur , et il faut prolonger par périodicité...

[invite35452583]

Dans la théorie des séries entières, on voit qu'une série entière est infiniment dérivable, et donc continue, et que et sont des séries entières ce qui permet de conclure.

Ce qui ne résoud rien. En effet, on a une définition de cosinus et de sinus par le cercle unité (il y a deux manières d'y arriver de manière rigoureuse), que l'on note "pour la cause" cos₁ et sin₁ (il faudrait même cos'₁ et sin'₁ puisqu'il ya deux manières).
On a une définition de cos et sin par série entière que l'on note cos_s et sin_s.
Avec cette 2ème définition, on peut alors montrer que c'est continue, dérivable... cos_s'=-sin_s, sin_s'=cos_s. Mais comme on n'a pas montré que cos1=cos_s, sin 1=sins_s, ça n'avance pas à grand chose concernant cos1 et sin1.

On peut alors soit montrer que cos_s et sin_s vérifient la définition de cos₁, sin₁. Ces dernières peuvent être définies via la longueur de l'arc (=borne supérieure des longueurs des arcs sous-tendus=limite de la longueur de n'importe quelle suite de lignes brisées dont les sommets sont consécutifs sur l'arc, c'est indépendant de toute paramétrisation, quand la distance entre deux sommets consécutifs tend vers 0, =formule classique quand on a une paramétrisation assez régulière). (L'autre manière est d'utiliser les rotations d'angle por définir l'angle, on complète par densité de ces points, le passage de l'un à l'autre utilise le fait que les rotations sont des isométries). (Les détails techniques ne sont pas peu nombreux mais ça se fait). cos'=-sin sin'=cos permettent d'utiliser ces fonctions comme paramétrisation du cercle (on a entre autres cos²+sin²=1 qui est montré en dérivant et en concluant que c'est constant) pour conclure. Ce n'est pas la voie la plus classique à ma connaissance.

Plus classique : cos et sin sont définies comme étant les solutions de l'équation différentielle y"=-y, la 1ère pour y(0)=1 y'(0)=0, la 2nde y(0)=0 y'(0)=1. Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existence et l'unicité.
cos_s et sin_s vérifie aisément ceci donc sont bien cos et sin.
Avec un peu de travail géométrique (mieux vaut prendre des arcs brisés pour la longueur d'arc) on montre les 1ères formules de trigo cos²+sin²=1 est immédiat avec la définition, (cos(a+b) et sin(a+b) notamment) puis que sin'(0)=1 (c'est moins difficile que ça en a l'air). On en déduit alors que cos et sin vérifient l'equation différentielle.

Les égalités avec les autres définitions, notamment via l'exponentielle complexe (formule de Moivre) se déduisent facilement de la définition par l'équation différentielle.

La définition classique n'est donc pas par le cercle unité ou les séries entières mais par l'équation différentielle.

[invite769a1844]

Je ne connaissais pas cette définition par les équa diff,

merci pour vos réponses.

[A voir en vidéo sur Futura]