Démonstration (DURE!!) avec fonction surjective et composés

[invitee50a1bfa]

Bonsoir (ou bonjour vu l'heur)

Je suis complètement à cours d'idée sur le dernière exercice de mon DM et je sais pas du tout par où commencer. Pouvez vous m'aider à le résoudre?

Soit A, B, C trois ensembles, f une application surjective de A sur B et g une application de A dans C. On suppose que toute paire {x1;x2} d'éléments de A vérifiant f(x1)=f(x2), on a g(x1)=g(x2).
Démontrer qu'il existe une fonction h:B -> C telle que g=h°g.

Merci de votre aide. Lilia
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[invite769a1844]

Bonsoir (ou bonjour vu l'heur)

Je suis complètement à cours d'idée sur le dernière exercice de mon DM et je sais pas du tout par où commencer. Pouvez vous m'aider à le résoudre?

Soit A, B, C trois ensembles, f une application surjective de A sur B et g une application de A dans C. On suppose que toute paire {x1;x2} d'éléments de A vérifiant f(x1)=f(x2), on a g(x1)=g(x2).
Démontrer qu'il existe une fonction h:B -> C telle que g=h°g.

Merci de votre aide. Lilia

salut c'est pas plutôt ?

[invitee50a1bfa]

oui!!!! désolé à cette heure ci je suis un peu...

[invite769a1844]

ok, ta fonction doit envoyer sur et ceci quelque soit ,

ie pour tout , il existe tel que (surjectivité de ).

On pose alors . Vérifie en utilisant les hypothèses sur la paire et la surjectivité de (les deux hypothèses qu'on a pas encore utilisé) pour montrer qu'ainsi définie, est bien une application de dans .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Je me suis mal formulé et c'est bien plus bref en fait:

Soit . Comme est surjective, l'ensemble (qu'on note ) est non vide.

Pour , on a par hypothèse ,

donc il existe un unique élément tel que pour tout .

On vient donc de montrer que pour tout , il existe un unique élément . Ainsi définie, est une application de dans , et on a bien

pour tout .

[invitee50a1bfa]

j'ai pas compris la troisième ligne... tu suppose que l'inverse de f c'est g? mais comment t'as fais?

[invite57a1e779]

A la troisième ligne ne désigne pas la bijection réciproque de , mais une application de dans ; elle est définie dans la deuxième ligne.

C'est pour cela que l'on écrit , et pas .

[invitee50a1bfa]

j'ai vraiment du mal avec f^-1... je suis obligé de l'appelé comme ça? pour moi ca signifie l'inverse...

[invite769a1844]

j'ai vraiment du mal avec f^-1... je suis obligé de l'appelé comme ça? pour moi ca signifie l'inverse...

ok tu n'as peut-être pas vu les notions d'imagé réciproque/préimage. Mais de toute façon, c'était juste une notation (conventionnelle) pour désigner l'ensemble , si tu préfères appelle le .

[invite57a1e779]

ok tu n'as peut-être pas vu les notions d'imagé réciproque/préimage. Mais de toute façon, c'était juste une notation (conventionnelle) pour désigner l'ensemble , si tu préfères appelle le .

La notation pour l'image réciproque est certes conventionnelle, comme toute notation, mais universelle et d'un usage constant.
Il est absolument nécessaire d'apprendre à la manipuler.