intégrale

[Nanou51100]

Bonjour à tous
Voila l'exercice :
Soit f continue sur IR et g(x) = f(x)
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[Gwyddon]

Bonjour

On est sensé te fabriquer l'exercice ?

[Nanou51100]

Je me suis planter :s dsl

ALors l'exo c'est : Soient f continue sur IR et g une fonction définie par g(x) = f(x) F 0 à x f(t) dt sur IR aussi .

F 0 à x signifie Intégrale de 0 à x

Il faut montrer que si g est décroissante sur IR, f = 0


Comment faire?

Merci de vos aides

[God's Breath]

Idée spontanée : je pose , alors , est de classe sur avec [tex]F' = f.
Dire que est décroissante, c'est donc dire que est concave.
Du fait que c'est un carré, est positive.
Comme , il s'agit d'un minimum de .

Ainsi, est une fonction concave qui atteint son minimum en 0, il faut en déduire qu'elle est nulle, d'où puis [f = F' = 0[/tex].

Le point que je laisse en suspens est "évident" sur un dessin, reste à le démontrer proprement, en utilisant habilement le théorème des accroissements finis par exemple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[akabus47]

Salut

Selon moi , si tu supposes que g est decroissante sur R , ayant g(0)=f(0) * 0 = 0 , tu as g > 0 sur [-infini ; 0 ] , et g<0 sur [ 0 ; + infini ] .

Or g(x) = ......( ta definition )

Placons nous sur x>=0 par ex :

g < =0 => f <=0 et F 0 à x f(t) dt > =0 (1 )

ou f >=0 et F 0 à x f(t) dt < = 0 ( 2 )

Prenons le cas (1) :

f<=0 => F 0 à x f(t) dt <= 0 car f continue sur R et x > =0

=> soit F 0 à x f(t) dt = 0 pour tout x de R⁺

D'ou f = 0 sur R⁺


Exactement pareil sur R^- ....

Bon courage

[God's Breath]

akabus47

Ton raisonnement ne fontionne pas, parce que tu supposes f de signe constant entre 0 et x.

Tu n'as absolument pas le droit de dire
cas 1 : si f positive, ...
cas 2 : si f négative...

Si f est une cochonceté du genre , tu es dans le
cas 3 : si f change de signe...

Par contre ta remarque sur le signe de g, et le minimum que j'indique pour permettent de conclure.