De la topologie au groupe

[invite35452583]

Remarque : avec cette structure ZxxZ⁺* est une partie stable pour le produit mais n'est pas un sous-groupe (leurs inverses sont pour la plupart hors de cette sous-partie de RxxR+*) ni distingué.
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[invité576543]

En d'autres termes on a exhibé un homéomorphisme entre H et un groupe de Lie, RxxR, ainsi qu'un morphisme de RxxR dans les isométrie de H.

Ensuite, les équations

x+ya = c, by=d

avec x, c et a dans R; b, d et y dans R+*

ont pour solutions y=b/d et x=c-ab/d

Le groupe agit donc transitivement sur H.

Le stabilisateur est;

x+ya=a, by=b

soit y=1, x=0, réduit à l'identité

Ca fait pas mal en commun avec les translations de R², la différence principale est que le groupe n'est pas commutatif.

Correct?

Est-ce que la conservation de la métrique fait que l'ensemble des e^gxA, g un élément de l'algèbre de Lie du groupe, A un point de H et x parcourant les réels, est une géodésique?

Cordialement,

[invite35452583]

Le groupe agit donc transitivement sur H.
Le stabilisateur est... réduit à l'identité

Tu en connais beaucoup des groupes qui ne vérifient pas cela ?

En d'autres termes on a exhibé un homéomorphisme entre H et un groupe de Lie, RxxR

On peut aussi le voir ainsi : on a muni H d'une structure de groupe de Lie, compatible avec la métrique pour le produit à gauche (sinon pourquoi parler de H et non de R²). Je ne vois pas bien pourquoi tu veux que l'espace sous-jacent de ce groupe de Lie soit nécessairement distinct de H ?

Est-ce que la conservation de la métrique fait que l'ensemble des e^gxA, g un élément de l'algèbre de Lie du groupe, A un point de H et x parcourant les réels, est une géodésique?

Bien vu, ou plutôt Ae^gx, on a vu que c'est quand le terme à droite qui varie que ds reste inchangé.
On peut vérifier d'ailleurs :
Les géodésiques les plus simples sont les droites parallèles à l'axe (Oy) donc {(x₀,y)}=(x₀,1){(0,y)} et {(0,y)} est un sous-groupe à un paramètre donc de la forme e^gx.
Pour les autres géodésiques passant par (0,1) on a x²+y²=1+2ax (cercle de centre (a,0) passant par (0,1)).
Les géodésiques sont celles pour lesquelles (x'-b)²+y'²=constante autrement dit x'²+y'²-2bx' est constant. Soit (x',y') un point quelconque est-ce que (x',y')(x,y) décrit une géodésique ?
(x',y')(x,y)=(x'+y'x,y'y)
(x'+y'x)²+(y'y)²-2b(x'+y'x)=x'²+x'y'x+y'²(x²+y² )-2b(x'+y'x)
=x'²+y'²(1+2ax)-2bx'+y'x(x'-2b)
=[x'²+y'²-2bx']+y'x(x'+2ay'-2b)
C'est donc une géodésique pour b=(x'+2ay')/2. On retrouve b=a pour (x',y')=(0,1) donc le produit par les éléments de la géodésique passant par (0,1) "de centre (a,0)" est stable par le produit par elle-même c'est donc un sous-groupe.
Les sous-groupes G sont les géodésiques passant par l'élément neutre les translatés p.G sont des géodésiques.
Donc A.e^gxgéodésique de H. Je suppose que l'on peut le montrer de manière plus générale mais là ça devient trop géométrique pour moi.

Cordialement

[invité576543]

Tu en connais beaucoup des groupes qui ne vérifient pas cela ?

Oui, plein, les isométries du plan affine E2 par exemple. Mais les translations du plan affine E2 vérifient cela.

J'écrivais l'opération avec le membre de gauche un élément du groupe RxxR, et le membre de droite un élément du plan H; comme une action sur H. Même si la propriété se montre trivialement (comme tu dis, automatique pour un groupe agissant sur lui-même), je trouvais intéressant de vérifier que, à l'instar des translations, RxxR agissant sur H avait cette propriété.

On peut aussi le voir ainsi : on a muni H d'une structure de groupe de Lie, compatible avec la métrique pour le produit à gauche (sinon pourquoi parler de H et non de R²). Je ne vois pas bien pourquoi tu veux que l'espace sous-jacent de ce groupe de Lie soit nécessairement distinct de H ?

J'essaye dans ma tête de distinguer le groupe agissant et l'espace "affine" sur lequel il agit. Réflexe de physicien, peut-être? Pour moi le plan "physique" E2, le plan affine, est un objet différent du groupe de ses translations, groupe isomorphe à R², même s'il y a une profonde relation entre les deux.

D'ailleurs, l'isomorphisme entre le plan affine et ses translations n'est pas unique, il faut choisir une origine (et pour aller jusqu'à R², il faut choisir une direction et une orientation). Cette non unicité de l'isomorphisme me semble suffisante pour faire la distinction, non?

(Et en physique, cette idée est importante, il me semble que la non unicité d'isomorphisme est reliée à la notion de groupe de jauge.)

Plus généralement, j'essaye de maintenir claire dans ma tête la séquence:

- topologie (ici E2 identique à H2)
- espace affine (E2 euclidien, H2 avec sa métrique)
- groupe de translation (en tant que tel, sans choix d'un isomorphisme avec l'espace)
- choix (arbitraire) d'un isomorphisme particulier entre l'espace et les translations (choix d'une origine)
- choix (arbitraire) d'un isomorphisme particulier entre R² (pour E2) et les translations (choix d'une base de l'espace vectoriel)

(D'ailleurs je ressens le manque d'un nom pour la topologie. J'emploie souvent E2 pour la topologie du plan, ou S1 pour une ligne fermée, mais c'est, pour moi, un abus de langage. Y-a-t-il des noms pour les topologies elles-mêmes?)

Les sous-groupes G sont les géodésiques passant par l'élément neutre les translatés p.G sont des géodésiques.
Donc A.e^gxgéodésique de H. Je suppose que l'on peut le montrer de manière plus générale mais là ça devient trop géométrique pour moi.

Il semble qu'au total on puisse bien considérer RxxR comme les translations de H2. Je trouve ça joli comme idée. Pourtant je n'ai pas encore rencontré cela dans les textes.

Sur le Wiki en, on trouve

H = PSL(2,R)/SO(2)

le quotient du groupe des isométries (présenté sous forme de matrices) et le stabilisateur, sans trop d'explications supplémentaires. Peut-être est-il facile de démontrer l'isomorphisme entre PSL(2,R)/SO(2) et RxxR ??

Cordialement,

[invite35452583]

Même si la propriété se montre trivialement (comme tu dis, automatique pour un groupe agissant sur lui-même), je trouvais intéressant de vérifier que, à l'instar des translations, RxxR agissant sur H avait cette propriété.

C'est ce besoin de vérification qui m'étonnais alors que c'est automatique..

J'essaye dans ma tête de distinguer le groupe agissant et l'espace "affine" sur lequel il agit. Réflexe de physicien, peut-être? Pour moi le plan "physique" E2, le plan affine, est un objet différent du groupe de ses translations, groupe isomorphe à R², même s'il y a une profonde relation entre les deux.

D'ailleurs, l'isomorphisme entre le plan affine et ses translations n'est pas unique, il faut choisir une origine (et pour aller jusqu'à R², il faut choisir une direction et une orientation). Cette non unicité de l'isomorphisme me semble suffisante pour faire la distinction, non?

En effet d'un point de vue géométrique, en topologie comme on regarde un espace à homéomorphisme près (voir à homotopie près) cette distinction est parfois lourde ce qui n'empêche pas de devoir la faire quand c'est indispensable.

Mais surtout ici on cherche à voir quelle structure de groupe on peut mettre sur des espaces données, et en particulier depuis quelque temps sur R² (espace topologique).

(D'ailleurs je ressens le manque d'un nom pour la topologie. J'emploie souvent E2 pour la topologie du plan, ou S1 pour une ligne fermée, mais c'est, pour moi, un abus de langage. Y-a-t-il des noms pour les topologies elles-mêmes?)

Non en topologie il faut s'habituer à parler à homéomorphisme près (même si parfois le choix d'un homéomorphisme donné peut être important là aussi il faut s'habituer).

Il semble qu'au total on puisse bien considérer RxxR comme les translations de H2. Je trouve ça joli comme idée. Pourtant je n'ai pas encore rencontré cela dans les textes.

Oui c'est dommage car je trouve cela joli (utile ?) mais par la suite on va voir qu'il y a une différence avec les translations (ils ne forment pas un sous-groupe distingué de isométries)

Sur le Wiki en, on trouve

H = PSL(2,R)/SO(2)

Les homographies à coefficients réels (et à déterminant>0) sont des isométries du demi-plan de Poincaré.
On a GL⁺(2,R)->>{homographies préservant H} avec
Puisque les coefficients sont réels R->R et les deux demi-plans par connexité (dans le compactifié)sont chacun envoyé sur un des deux. Puisque i est envoyé sur (ai+b)(ci+d)=(bd+ac+i(ad-bc))/(c²+d²) le demi-plan est bien préservé.


Idem avec le conjugué

On réobtient bien ds² (je te laisse les derniers détails de calcul).
Sont-ce les seuls isométries ? Je crois mais je n'ai pas de preuve formelle mais ceci : les isométries opérent transitivement sur H le stabilisateur est donc de codimension 2, ce dernier opère sur les cercles cocentriques, stabilisateur codimension 1, une isométrie qui laisse deux points invariants ne laissent plus que deux possibilités (du moins je pense) pour un troisième point puis aucune autre pour les autres. Les homographies sont de dimension 3, ils sont complétés par les avec ad-bc<0. (Les composées avec la symétrie dont il est aisé de vérifier que c'est une isométrie. Donc « on a tout le monde ».

Le noyau de GL⁺(2,R)->{homographies préservant H} sont les homothéties sous-groupe distingué isomorphe à (R*,.). Cette application est un morphisme de groupe (simple calcul quoique pénible mais normalement classique). On a donc un isomorphisme de groupe GL⁺(2,R)/<homothéties>->homographies mais ce premier groupe est aussi PSL(2,R).
Les homographies correspondantes aux produits à gauche par (x',y') n'est rien d'autre que z->y'z+x' comme il est aisé de le vérifier.
Ce groupe des homographies opére transitivement sur H (ne serait-ce que parce que H opère déjà sur lui-même transitivement).
Tous les stabilisateurs sont donc conjugués, on peut considérer celui de i. (ai+b)/(ci+d)=i revient à d=a c=-b donc correspond au sous-groupe de Gl+(2,R), ce sous-groupe est isomorphe à {homothéties}xSO(2) donc dans le quotient donne un sosu-groupe isomorphe à SO(2).
On a bien H =+/- PSL(2,R)/SO(2). Mais on a cela en terme d'espace mais pas en tant que groupe. Les stabilisateurs ne sont pas distingués : une homographie qui n'est pas l'identité a au plus deux racines dans C mais avec celles à coeff réels ces racines si elles ne sont pas réelles elles sont conjuguées et donc une au plus est dans H. Donc chaque élément de SO(2) autre que l'identité n'est que dans un seul stabilisateur, ceux-ci ne sont pas distingués. La structure de groupe ne passe pas au quotient.
A remarquer que SO(2) n'intersecte le sous-groupe des « translations » (ils n'ont pas de points fixes sauf id) que selon l'identité de H. Mais ce sous-groupe des « translations » n'est pas distingué non plus. D'ailleurs, PSL(2,R) comme les PSL(n,R) je crois bien qu'ils sont simples. Je crois que mes souvenirs sur les groupes de Lie non compacts commencent à revenir.

Voilà, voilà, donc pour les groupes sur des variétés de dimension 2 il y a RxxR que j'avais omis et pour celles de dimension 3 il y en a quelques uns que je n'ai pas citées, entre autres PSL(2,R). Par contre pour la classification des topologies des variétés connexes (paracompactes ? Enfin pas trop grandes) de dimension 3 je pense que la liste est bonne en ce qui concerne les topologies possibles.

[invité576543]

Bonjour,

Pour revenir un peu au sujet, après cette intéressante excursion dans le plan hyperbolique, la discussion m'amène la réflexion qu'il y a une étape intéressante entre la topologie et un groupe de cette topologie, c'est de trouver le ou les espaces homogènes qui ont la topologie, donc y associer un groupe, de topologie éventuellement différente, rendant certains espaces homogènes et de la topologie voulue.

Là-dessus je voudrais juste revenir sur un point simple. Si E est un espace homogène pour un groupe G, alors E est homéomorphe au quotient de G par le stabilisateur d'un point de E. Si c'est correct, tout espace homogène peut être "construit" comme un quotient d'un groupe par un sous-groupe de ce groupe.

Mais il y a plein de groupes qui peuvent rendre un espace E homogène, à commencer par le groupe topologique même, les bijections continues de E. S'il existe un groupe G qui rende l'espace continu, c'est nécessairement un sous-groupe du groupe topologique, donc ce dernier rend l'espace homogène.

Peut-on trouver une "équivalence" entre deux manières de rendre E homogène? Et peut-on différencier E2 et H2, de même topologie, parce qu'il y a deux manières "non équivalentes" de rendre le plan topologique homogène?

(Si oui, le statut du groupe topologique, qui contient tout groupe rendant homogène, est un peu bizarre! Ce qui penche vers non...)

Si oui, quels autres exemples peut-on citer, en faible dimension, 1 ou 2 si possible?

Si non, pourquoi (et comment rendre rigoureux) privilégie-t-on pour les surfaces la série genre sphère, plan projectif, cylindre, möbius, tore, etc. ? Ce n'est pas parce qu'ils sont homéomorphes à au moins un groupe, on a vu que ce n'est pas le cas pour tous. Si ce n'est pas en tant qu'espaces homogènes, c'est quoi, alors, qui amène à voir cette famille comme particulière?

Cordialement,

[invite35452583]

Là-dessus je voudrais juste revenir sur un point simple. Si E est un espace homogène pour un groupe G, alors E est homéomorphe au quotient de G par le stabilisateur d'un point de E. Si c'est correct, tout espace homogène peut être "construit" comme un quotient d'un groupe par un sous-groupe de ce groupe.

En effet.

Mais il y a plein de groupes qui peuvent rendre un espace E homogène, à commencer par le groupe topologique même, les bijections continues de E. S'il existe un groupe G qui rende l'espace continu, c'est nécessairement un sous-groupe du groupe topologique, donc ce dernier rend l'espace homogène.

Pour la notion d'"homogène" être ""homogène topologiquement" est un minimum. Il y a des contre-exemples : les variétés à bord ne peuvent être homogènes dans un sens strict. Un espace ayant des points singuliers non plus : par exemple "X" le point central est invariant par homéomorphisme.

Peut-on trouver une "équivalence" entre deux manières de rendre E homogène? Et peut-on différencier E2 et H2, de même topologie, parce qu'il y a deux manières "non équivalentes" de rendre le plan topologique homogène?

Oui, mais ce n'est plus de la topologie mais de la géométrie. En fait faire opérer un groupe sur un ensemble c'est lui donner une géométrie.
Qu'est-ce qui différencie le carré du tétraèdre ? Le premier son groupe d'isométrie est D4 d'ordre 8, le second est S4 d'ordre 24. Sur un ensemble de cardinal 4 quelle géométrie peut-on mettre ? Gx{a,b,c,d}->{a,b,c,d} est transitif. On a f : G->S4 (qui va jouer le rôle du groupe des homéomorphismes). D'où G/ker(f) s'injecte dans S4 (et on peut guère considérer qu'il définit une autre géométrie que le groupe image). On suppose donc G sous-groupe de S4.
G ordre 4 : C4 (structure du carré + préservation de l'orientation) ou V4 (structure du carré + préservation des médianes)
G ordre 8 : D4 structure du carré
G ordre 12 : A4 structure du tétraèdre + conservation de l'orientation
G ordre 24 : S4 structure du tétraèdre (ce qui revient à aucun autre invariant autre que le cardinal).
L'opération d'un groupe structure donc très fortement un ensemble ou un espace si ce groupe est inclus dans le groupe topologique des homéomorphismes. Et on voit que c'est très fortement relié à celle d'invariant.
Mais si deux groupes sont conjugués dans ce groupe des homéomorphismes peut-on dire qu'ils définissent deux géométries distinctes ? Non, ce n'est que deux manières de voir la même structure. On a là une définition d'"équivalent". Si un groupe ou un de ses conjugués est inclus dans un autre on peut dire que sa géométrie est plus fine. Elle conserve plus de chose (ou quelque chose de plus contraignant). Ainsi, le sous-groupe R² des translations de E2 est plus fin que le groupe des isométries de E2 , il préserve en plus les directions.
Trouver le ou les invariants n'est pas toujours évident mais existe potentiellement toujours.

(Si oui, le statut du groupe topologique, qui contient tout groupe rendant homogène, est un peu bizarre! Ce qui penche vers non...)

Ce groupe contient toutes les géométries plus fines que la simple topologie (seule chose préservée par le groupe topologique des homéomorphismes).

Si oui, quels autres exemples peut-on citer, en faible dimension, 1 ou 2 si possible?

Les géométries les plus intéressantes pour les variétés sont celles pour lesquelles le groupe est un groupe de Lie. (ce n'est pas trop gros donc ça rend réellement rigide l'espace géométrique).
Maintenant, il faut prendre avec des pincettes ce qui suit, la géométrie n'est pas tout çà fait mon domaine. L'invariant fondamental va être la métrique (groupe de Lie+action sur une variété =>on va pouvoir rendre régulier tout ça). Mais d'autres types de géométries existent bien sûr : structures holomorphes, symplectiques...
Autre point : une variété a un groupe fondamental éventuellement non trivial, mais possède un revêtement universel qui est homéomorphe localement à la variété donc est une variété est connexe si la variété l'est, simplement connexe par définition. Ce revêtement universel est un , càd le groupe fondamental opère librement sur l'espace total (simplement connexe), la variété V est le quotient d'une variété simplement connexe par un groupe fini agissant librement.
Dimension 1 : seul espace total possible pour le revêtement universel R, une seule métrique possible, et est un groupe qui s'injecte dans le groupe des isométries. Deux sous-groupes possibles (à automorphisme près AZ est l'image de Z par x->ax) : {e}, on a alors R qui est un groupe et donc homogène, et R/Z, qui est un groupe car Z est distingué dans le groupe.
Dimension 2 : trois types de métrique possibles. Euclidienne E2, hyperbolique H2, sphérique S2. Les deux premiers sont topologiquement identiques. Pour chacun d'entre eux il existe une structure de groupe sur l'espace s'injectant dans le groupe des isométries.
Les trois groupes d'isométries sont distincts (non isomorphes), E2->je ne sais plus le nom mais bon iso à R²xxO(2), H2->iso à PSL(2,R), S2->O(3)
sphérique (le plus court) Il faut un sous-groupe discret de SO(3) qui agisse librement sur S2, il n'y en a qu'un Z/2Z={id, application antipodale}. Z/2Z n'est pas un sous-groupe distingué donc l'action de O(3) ne passe pas au quotient et il me semble que RP² n'est pas homogène géométriquement. O(3) contient un sous-groupe =>sous-groupe compact de dimension 1 ou 2, 2 pas possible, =>1=> S1 ou S1xxZ/2Z. Pas d'action sous-tendu possible.
plat : sous-groupe discret possible : Z ((x,y)->(x+1,y)), Z ((x,y)->(x+1,-y)) Z+Z ((x,y)->(x+1,y) ; (x,y)->(x,y+1)), Z*Z ((x,y)->(x+1,-y) ; (x,y)->(x,y+1)) et c'est tout je pense.
quotient cylindre (homogène et groupe), ruban de Moebius (homogène ? non groupe), tore (homogène et groupe), bouteille de Klein (homogène ? et non groupe)
Pour le cylindre le sous-groupe discret est sous-groupe distingué de R² ce qui simplifie tout.
Pour le ruban de Moëbius et la bouteille de Klein, je ne vois pas un sous-groupe transitif de R²xxO(2) pour lequel leur sous-groupe associé soit distingué. Donc je dirais non homogène au niveau géométrique.
Hyperbolique : plein de sous-groupes discrets qui agissent librement mais aucun distingué ni dans RxxR, ni dans PSl(2,R) donc ni groupe ni homogène.
A ce niveau S2 me semble la seule surface qui soit homogène sans être un groupe.

Si non, pourquoi (et comment rendre rigoureux) privilégie-t-on pour les surfaces la série genre sphère, plan projectif, cylindre, möbius, tore, etc. ? Ce n'est pas parce qu'ils sont homéomorphes à au moins un groupe, on a vu que ce n'est pas le cas pour tous. Si ce n'est pas en tant qu'espaces homogènes, c'est quoi, alors, qui amène à voir cette famille comme particulière?

Je pense surtout que ce sont les surfaces les plus simples (en termes de groupe fondamental ou ce qui revient au même pour les surfaces, quoique non isomorphes, de groupe d'homologie entière de degré 1).

Cordialement.

[invité576543]

Bonjour,

Vu d'un autre angle.

Constat:

Un groupe de translations de la ligne topologique rend la ligne homogène, et n'a pas de sous-groupe propre la rendant homogène. De même pour le plan topologique, avec, respectivement, un groupe de translations isomorphe à R² ou un groupe de translations isomorphe à RxxR.

A-t-on les résultats suivants:

Tout groupe (ou tout groupe de Lie ?) isomorphe à un sous-groupe du groupe topologique de la ligne et qui rend la ligne homogène au moins un sous-groupe isomorphe à (R, +) et qui rend la ligne homogène?

et

Tout groupe (ou tout groupe de Lie ?) isomorphe à un sous-groupe du groupe topologique du plan et qui rend le plan homogène a au moins un sous-groupe isomorphe à R² ou à RxxR et qui rend le plan homogène?

Sinon, à quoi peut ressembler un sous-groupe du groupe topologique resp. de la ligne, du plan, qui rende l'espace homogène sans respecter la propriété ci-dessus?

Cordialement,

[invite35452583]

A-t-on les résultats suivants:

Tout groupe (ou tout groupe de Lie ?) isomorphe à un sous-groupe du groupe topologique de la ligne et qui rend la ligne homogène au moins un sous-groupe isomorphe à (R, +) et qui rend la ligne homogène?

et

Tout groupe (ou tout groupe de Lie ?) isomorphe à un sous-groupe du groupe topologique du plan et qui rend le plan homogène a au moins un sous-groupe isomorphe à R² ou à RxxR et qui rend le plan homogène?

Je n'arrive pas à le montrer mais je pense que c'est juste comme sous-groupe du groupe topologique car "R" discret rend homogène R mais je vois mal comment "R" discret pourrait se plonger dans le groupe topologique, s'injecter continument oui mais en "perdant de sa topologie".
Je me demande si pour les groupes de Lie on a même pas plus :
tout groupe de Lie, sous-groupe du groupe topologique càd le seul élément agissant trivialement sur R en entier est l'identité, opérant transitivement sur R est soit iso à (R,+), soit iso à RxxZ/2, soit iso à RxZ ou R² (transformations affines x->ax+b) soit iso à (RxZ)xxZ/2Z ou R²xxZ/2Z (les précédentes + les symétries).
Déjà, il ne contient aucun sous-groupe compact car sinon il contient un sous-groupe à un paramètre compact (iso à R/Z) mais qui ne peut agir que trivialement (S1.x=segment compact et il n'est pas difficile de voir que la bs et la bi ne peuvent avoir même stabilisateur que les autres points).
La composante connexe de l'identité est distinguée le quotient est un sous-groupe discret, les z/pZ p distinct de 2 sont à exclure (agissent trivialement) sous-groupe type Q je ne le vois pas se plonger dans le groupe topologique. Je ne vois donc que Z, ZxxZ/2Z, Z², ZxxZ/2Z possibles mais dans les deux derniers cas on a peut user toutes les possibilités sans rendre R homogène, donc un des deux Z s'injectent dans un "R".
Si je me rappelle bien tout groupe de Lie contractile (homéo à Rⁿ topologiquement) est résoluble. La 1ère action rend R homogène (je n'en vois guère d'autres possibles), la seconde je vois les "homothéties" mais après...
Ca fait beaucoup "je ne vois rien d'autre possible" pour être un vrai début de preuve.
Je pense aussi que pour l'espace topologique R² on a un nombre fini de possibilités de groupes de Lie le munissant d'une géométrie mais sans certitude.
Bref, à ce niveau j'en reste comme toi au niveau de l'intuition, on a la même apparemment sur ce sujet, on est sorti de mon domaine de prédilection qu'est la topologie "très souple".

Cordialement

[invité576543]

Bonjour,

Pour revenir sur un petit point, j'ai trouvé sur le Wiki anglais la notion de (ma traduction) "espace homogène principal", qu'ils nomment aussi "torsor". Il me semble qu'on n'utilise pas en français le terme de "torseur" pour cela, et je me demandait si le terme d'espace homogène principal est le bon et/ou le seul en français.

C'est un concept fort important pour les physiciens. L'article de Baez: http://math.ucr.edu/home/baez/torsors.html explique bien l'idée vue de la physique.

Je parle de cela parce que je pense que la question initiale, et ce dont on a débattu ensuite, ressemble pas mal à partir d'un espace et chercher si c'est un espace homogène principal pour un certain groupe (le cas initial du disque avec trou tombe très clairement dans cette catégorie).

Or, si l'espace homogène principal est alors homéomorphe au groupe, ce n'est pas un groupe. Et éviter la confusion conceptuelle entre les deux notions semble bien utile, en particulier en physique.

Cordialement,

[invite35452583]

Or, si l'espace homogène principal est alors homéomorphe au groupe, ce n'est pas un groupe. Et éviter la confusion conceptuelle entre les deux notions semble bien utile, en particulier en physique.

Oui mais tout dépend ce que l'on cherche à faire. A un moment on regardait si on pouvait mettre une structure de groupe liée à la structure H2. Si la question est celle-là je mets directement la structure de groupe.
Le point de vue (G,groupe)x(G,groupe)->(G,groupe) est le mieux adapté à des questions du type : la loi est-elle commutative ? l'application induite sur les invariants homotopiques est-elle commutative ? ... (il y a surtout des questions liées à la commutativité, en effet).
Quand la question a été de savoir quelles sont les structures de groupe (ou mieux les structures d'espace homogène) alors la distinction est devenu indispensable.
Le point de vue (action à gauche) : (G, groupe)x(G, espace homogène)->(G, espace homogène) est alors le mieux adapté.
J'ai un peu tendance à favoriser la 1ère (même parfois quand l'autre est mieux adapté) mais il me semble que tu as tendance à rester sur la seconde. Mais je crois que l'un et l'autre savons prendre le meilleur angle quand c'est vraiment indispensable.

Merci pour le lien vers l'article, maintenant que tu as attiré mon regard vers ces questions, je vais avoir du mal à ne pas en savoir plus.

Cordialement.

[invite35452583]

Au fait deux corrections :
les x->ax+b dans R forment un groupe iso à RxxR. Les sous-groupes à un paramètre sont les stabilisateurs d'un élément (tous conjugués) et les translations (donc sans points fixes) sous-groupe distingué.
Et post encore plus éloigné, le groupe des isométries de H2 est iso à PGL(2,R) (non connexe) avec PGL-(,R)->conjugués des homographies.

[invité576543]

mais il me semble que tu as tendance à rester sur la seconde.

C'est surtout que ce qui m'intéresse le plus pour le moment ce sont les relations entre groupes et physique. Et le première vue n'est pas d'application très courante en physique en fait, alors que la seconde y est partout, vraiment partout!

Cordialement,

[invite35452583]

Et le première vue n'est pas d'application très courante en physique en fait, alors que la seconde y est partout, vraiment partout!

Certes, mais je ne suis pas très pointu en physique.

Cordialement