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De la topologie au groupe



  1. #1
    mariposa

    De la topologie au groupe


    ------

    Bonjour,

    C'est une question de physicien posée aux mathématiciens.
    .
    Soit un groupe G continu et définie par sa topologie T.
    .
    Peux-t-on trouver des groupes ou des modèles de groupe qui respecte cette topologie?
    .
    Plus concrètement supposons que la topologie soit un disque plein avec un trou au milieu. Cela permet-il de "calculer" le groupe ?

    -----

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  3. #2
    invite986312212
    Invité

    Re : De la topologie au groupe

    salut,

    si la question est: étant donné un espace topologique, existe-t-il un groupe topologique qui lui soit homéomorphe? je pense que la réponse est non, parce que (d'après mes souvenirs) les groupes topologiques sont nécessairement métrisables (mais c'est peut-être faux). Quoi qu'il en soit, on sait construire des topologies très bizarres, alors ça ne m'étonnerait pas qu'il y en ait pour lesquelles ça ne marche pas.

    mais Homotopie, s'il rôde dans le coin, te donnera certainement la réponse définitive

  4. #3
    mariposa

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    salut,

    si la question est: étant donné un espace topologique, existe-t-il un groupe topologique qui lui soit homéomorphe? je pense que la réponse est non, parce que (d'après mes souvenirs) les groupes topologiques sont nécessairement métrisables (mais c'est peut-être faux). Quoi qu'il en soit, on sait construire des topologies très bizarres, alors ça ne m'étonnerait pas qu'il y en ait pour lesquelles ça ne marche pas.

    mais Homotopie, s'il rôde dans le coin, te donnera certainement la réponse définitive
    ;
    En attendant homotopie j'essaie de préciser ma réponse en précisant un peu le contexte physique.
    .
    Soit un espace sur lequel agit des transformations de cet espace (des automorphismes). Ces transformations forment un groupe G. En physique il s'agit des groupes de Lie qui sont des variétés.
    .
    On peut avoir besoin d'étudier la topologie globale de cette variété, d'où l'usage des groupes d'homotopie.
    .
    La question est peut-t-on effectuer l'opération inverse cad trouver le groupe a partir de sa topologie. plus concretement en supposant que la topologie c'est un disque avec un trou, trouver un groupe modèle.

  5. #4
    homotopie

    Re : De la topologie au groupe

    1ère réponse rapide :
    Un groupe topologique est homotopiquement un espace de lacet. Il existe un fibré avec ce dernier étant une équivalence d'homotopie de groupe (préserve la loi de groupe).
    De manière générale cela ne suffit pas (à ma connaissance) pour imposer le type d'homotopie de BG sauf cas exceptionnels comme pour un disque troué qui est homotopiquement un cercle qui n'a qu'un groupe d'homotopie non trivial. Ceci impose que BS1 n'a qu'un groupe d'homotopie non trivial or de tels espaces (un seul groupe non trivial) sont définis, à homotopie près, de manière unique par leur groupe d'homotopie. Donc, à homotopie près, la structure de groupe sur le disque troué est unique.
    Est-ce que cela implique que deux structures de groupe sur le disque troué en font deux groupes isomorphes, je ne sais pas.

    La même question pour S3 est nettement plus dur car il existe des opérations entre les divers groupes d'homotopie d'un espace et S3 en a une infinité non triviaux (cf. Serre, c'est vrai pour toutes les sphères). Et là rien (d'immédiat en tout cas) n'implique qu'il y ait unicité de "BS3" càd d'espace vérifiant en tant qu'espace.
    Pour les autres groupes de Lie, c'est encore plus délicat.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invité576543
    Invité

    Re : De la topologie au groupe

    Bonsoir,

    Je comprends la question de mariposa comme plus simple: exhiber un groupe à partir d'une topologie donnée, pas tous!

    (Pour le disque troué, je lui en ai proposé quelques-uns dans un autre fil, mais il faudrait que ça vienne d'une source certifiée...)

    Cordialement,

  8. #6
    mariposa

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    1ère réponse rapide :
    Un groupe topologique est homotopiquement un espace de lacet. Il existe un fibré avec ce dernier étant une équivalence d'homotopie de groupe (préserve la loi de groupe).
    De manière générale cela ne suffit pas (à ma connaissance) pour imposer le type d'homotopie de BG sauf cas exceptionnels comme pour un disque troué qui est homotopiquement un cercle qui n'a qu'un groupe d'homotopie non trivial. Ceci impose que BS1 n'a qu'un groupe d'homotopie non trivial or de tels espaces (un seul groupe non trivial) sont définis, à homotopie près, de manière unique par leur groupe d'homotopie. Donc, à homotopie près, la structure de groupe sur le disque troué est unique.
    Est-ce que cela implique que deux structures de groupe sur le disque troué en font deux groupes isomorphes, je ne sais pas.

    La même question pour S3 est nettement plus dur car il existe des opérations entre les divers groupes d'homotopie d'un espace et S3 en a une infinité non triviaux (cf. Serre, c'est vrai pour toutes les sphères). Et là rien (d'immédiat en tout cas) n'implique qu'il y ait unicité de "BS3" càd d'espace vérifiant en tant qu'espace.
    Pour les autres groupes de Lie, c'est encore plus délicat.
    J'ai du mal a suivre.

    Je voudrais d'abord m'assurer que la question est bien posée. Je la reformule avec un exemple.
    .
    Soit SO(3). On démontre que l'espace des paramètres de SO(3) est une sphère solide de rayon Pi où les points antipodaux sont identifiés, donc RP(3).

    Question: Si je donne RP3 peut-on trouver SO(3)?
    .
    Application: je donne un disque plein (origine exclue), quel est le groupe?

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  10. #7
    invité576543
    Invité

    Re : De la topologie au groupe

    Bonsoir,

    Je profite du fil pour poser une question similaire qui me turlupine depuis quelques jours. Partons de S2, la sphère. Comment trouver un groupe qui ait la topologie de la sphère? Il me semblait connaître un tel groupe dans le temps, mais je ne le retrouve plus.

    Dans le cas de S2, qui est homogène, il y a une procédure qui doit marcher: on prends un groupe agissant transitivement, ici SO(3) vient évidemment à l'esprit, on choisit un point A de la sphère, et on quotiente SO(3) par le sous-groupe stabilisateur de A. Il me semble qu'on obtient alors un groupe isomorphe à l'espace d'origine.

    Mais à quoi ressemble ce fichu groupe pour S2? Est-il isomorphe à quelque chose de défini plus simplement?

    ---

    La même procédure doit marcher pour pour toute variété homogène, par exemple pour RP(3); j'imagine qu'on trouve alors SO(3).

    Pour le disque troué, il suffit de le transformer topologiquement en espace homogène; le plan moins un point ou le cylindre viennent à l'esprit. Et on applique alors la même procédure.

    Dans le cas du cylindre, les translations (sur la surface du cylindre, précisons) agissent transitivement et constituent un groupe isomorphe à R² (suffit de dérouler le cylindre...). Le quotient est R²/Z (il y a exactement une translation laissant invariant A par classe de lacet).

    Cordialement,
    Dernière modification par Rincevent ; 19/03/2008 à 14h39. Motif: correction coquilles

  11. #8
    invite986312212
    Invité

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    les groupes topologiques sont nécessairement métrisables
    pure ânerie

  12. #9
    invité576543
    Invité

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Je profite du fil pour poser une question similaire qui me turlupine depuis quelques jours. Partons de S3, la sphère. Comment trouver un groupe qui ait la topologie de la sphère? Il me semblait connaître un tel groupe dans le temps, mais je ne le retrouve plus.

    Dans le cas de S3, qui est homogène, il y a une procédure qui doit marcher: on prends un groupe agissant transitivement, ici SO(3)
    Bonjour,

    Autre erreur: il fallait lire S2, et non pas S3, je me suis encore une fois mélangé dans les noms...
    *** corrigé dans le message initial... Pour la modération***

    Mais la question, reste, càd d'un groupe homéomorphe à S2...

    Cordialement,
    Dernière modification par Rincevent ; 19/03/2008 à 14h41.

  13. #10
    invite986312212
    Invité

    Re : De la topologie au groupe

    au fait, le "disque à trou central" s'il n'y a pas les bords, c'est homéomorphe au plan privé d'un point et ça c'est possible de le voir comme le groupe multiplicatif des complexes.
    Avec les bords ça ne marche pas ;-(

  14. #11
    homotopie

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par Michel (mmy)
    Mais à quoi ressemble ce fichu groupe pour S2?
    A rien, il n'existe pas.
    Vu par un topologue algébriste, si S2 était un groupe topologique alors sa cohomologie rationnelle (sa partie libre) serait une algèbre graduée commutative libre, or il existe un élément sphérique de degré 2 () donc la cohomologie de S2 contiendrait un T(x2)=algèbre polynomiale engendré par un élément de degré 2 donc aurait des groupes de cohomologie paires tous non triviaux ce qui est somme toute bizarre pour une variété de dimension finie.
    En restant plus dans la théorie des groupes de Lie, si S2 était muni d'une structure de groupe continu alors on peut lisser sa structure de variété pour en faire un groupe de Lie. Son rang (dimension de son tore maximale) est >=1 et <=dimension de S2=2 et a même parité que S2 donc est égal à 2. La sphère S2 contiendrait donc un tore de dimension 2 ce qui n'est guère possible.
    Pour info (mais c'est plus difficile d'éliminer les sphères paires), seules les sphères S0, S1, S3 et S7 admettent des structures de H-espace (+/- groupe à homotopie près : on transforme les axiomes de groupe en diagramme commutatif et on ne demande plus que la commutation à homotopie près), ce résultat est du à Adams.

    Citation Envoyé par Michel (mmy)
    Dans le cas de S2, qui est homogène, il y a une procédure qui doit marcher: on prends un groupe agissant transitivement, ici SO(3) vient évidemment à l'esprit, on choisit un point A de la sphère, et on quotiente SO(3) par le sous-groupe stabilisateur de A. Il me semble qu'on obtient alors un groupe isomorphe à l'espace d'origine.
    Non on obtient un espace...homogène. Un espace homogène est en fait le quotient d'un groupe de Lie par un sous-groupe, il n'est un groupe que si le sous-groupe est distingué.

    Citation Envoyé par Michel (mmy)
    Comment trouver un groupe qui ait la topologie de la sphère?
    De manière générale savoir à partir de la topologie si elle est compatible avec une structure de groupe est très ardu.
    ...
    Sauf cas évident : un disque avec les bords n'est pas homogène donc l'application produit qui envoie un point intérieur sur un point du bord n'a aucune chance d'être un homéomorphisme contrairement à ce qui se passe dans un groupe.

    Citation Envoyé par mariposa
    Soit SO(3). On démontre que l'espace des paramètres de SO(3) est une sphère solide de rayon Pi où les points antipodaux sont identifiés, donc RP(3).

    Question: Si je donne RP3 peut-on trouver SO(3)?
    Qu'appelles-tu "espace des paramètres " ou je pense plus exactement qu'appellent les physiciens "espace des paramètres" ?

  15. #12
    invité576543
    Invité

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Non on obtient un espace...homogène. Un espace homogène est en fait le quotient d'un groupe de Lie par un sous-groupe, il n'est un groupe que si le sous-groupe est distingué.
    Merci! Je vois bien mon erreur, maintenant.

    Cordialement,

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  17. #13
    invité576543
    Invité

    Re : De la topologie au groupe

    Bonjour,

    Quid des autres surfaces?

    S2 --> non

    S2 avec 1 trou (bord non inclus, comme partout après) = plan --> oui, R²

    S2, 2 trous = cylindre --> oui, R²/Z

    S2, trois trous et plus ??

    tore --> oui, R²/Z²

    tore, 1 trou et plus??

    RP2 --> non (?)

    RP2, un trou = ruban de moebius --> oui (?) R/Z xx R (avec xx produit semi-direct)

    RP2, 2 trous et plus??

    bretzel n anses --> oui (?) (par pavage du plan hyperbolique, H/Z² ??)

    bretzel 1 trou ??

    bouteille de Klein --> oui (?) H/Z² ?? ou R/Z xx R/Z ??

    plan hyperbolique --> oui , R² ??? ou R xx R ???

    plan hyperbolique, 1 trou et plus ??

    Cordialement,

  18. #14
    mariposa

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    A

    Qu'appelles-tu "espace des paramètres " ou je pense plus exactement qu'appellent les physiciens "espace des paramètres" ?
    Dans le langage des physiciens on parle de transformations qui laissent invariant quelquechose (une géométrie, une équation etc..) ces transformations forment un groupe. (Dans le langage des mathématiciens on parle d'automorphismes, me semble-t-il).
    .
    Quand il s'agit de groupe continu, ces derniers sont définis par des paramètres: Exemple: le groupe de transformations O(3) qui laisse invariant la sphère est défini par 3 paramètres (par exemple les 3 angles d'Euler). Ces groupes ont la structure de variété qui est définie par ses coordonnées qui sont les paramètres qui ont un domaine de définition (les valeurs prises par les 3 angles d'Euler).

    Dans certains domaines de la physique la topologie des groupes de Lie jouent un role important. C'est notamment le cas des défauts topologiques associés aux transitions de phase des matériaux dont le classement est rattaché aux classes d'homotopie.
    ;
    Donc pour le physicien qui veut étudier une transition de phase, il faut qu'il trouve les paramètres qui décrivent la transition de phase. Dans ce cas l'appellation est paramètres d'ordre. Après quoi l'étude topologique lui permettra de prévoir ou reconnaitre les défauts topologiques.

  19. #15
    mariposa

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    au fait, le "disque à trou central" s'il n'y a pas les bords, c'est homéomorphe au plan privé d'un point et ça c'est possible de le voir comme le groupe multiplicatif des complexes.
    Avec les bords ça ne marche pas ;-(
    .
    Je ne pense pas. C'est ce que j'ai essayé de faire:

    http://forums.futura-sciences.com/thread27554-10.html

    voir post 164#
    .
    En fait je trouve que la topologie est 2 espaces deconnectés!

    Que penses-tu de cette démonstration. Est-elle juste? Est-t-elle fausse?

  20. #16
    invité576543
    Invité

    Re : De la topologie au groupe

    Bonjour,

    Le poste #164 montre les dégâts que peuvent amener la vision par les paramètres, quand la paramétrisation est mal choisie!

    La réponse sur l'autre fil présente une autre paramétrisation, mieux adaptée (par le logarithme ), n'offrant pas le "défaut" de la paramétrisation proposée dans le message #164, défaut exhibée dans le même message.

    ---

    Mais ça n'a pas l'air de convenir.

    Ce qui fait plaisir avec mariposa c'est que je (et d'autres j'imagine) ne sont pas physiciens (par définition, pour mariposa, comme visible dans son emploi du mot "physicien", un physicien est quelqu'un qui raisonne comme lui, qui a les mêmes définitions que lui, etc.), et je ne suis pas mathématicien: quand je lui oppose des arguments mathématique, il les ignore...

    Merci donc aux mathématiciens patentés, selon la classification de mariposa, de lui répondre, si possible en termes abscons et utilisant un tas de formules et de termes complexes qui, par leur présence même, rendront la réponse valide.

    Cordialement,

  21. #17
    mariposa

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Bonjour,

    Le poste #164 montre les dégâts que peuvent amener la vision par les paramètres, quand la paramétrisation est mal choisie!

    La réponse sur l'autre fil présente une autre paramétrisation, mieux adaptée (par le logarithme ), n'offrant pas le "défaut" de la paramétrisation proposée dans le message #164, défaut exhibée dans le même message.
    .
    Il est curieux que tu ne voulais pas entendre parler de paramètrisations (tu t'es répété de nombreuses fois sur ette question). il semble que tu as changer sur ce point.
    ;
    Maintenant comme je l'ai écrit N fois, ce qui m'intéresse, en tant que physicien, ce ne sont pas d'abord les généralités, mais l'application concrète.
    .
    En clair puisque tu proposes des paramètres, n'en reste pas aux principes, va jusqu'au bout. Détermine la topologie de ces complexes en utilisant les paramètres que tu proposes (ou d'autres).


    Ce qui fait plaisir avec mariposa c'est que je (et d'autres j'imagine) ne sont pas physiciens (par définition, pour mariposa, comme visible dans son emploi du mot "physicien", un physicien est quelqu'un qui raisonne comme lui, qui a les mêmes définitions que lui, etc.), et je ne suis pas mathématicien: quand je lui oppose des arguments mathématique, il les ignore...

    Merci donc aux mathématiciens patentés, selon la classification de mariposa, de lui répondre, si possible en termes abscons et utilisant un tas de formules et de termes complexes qui, par leur présence même, rendront la réponse valide.

    Cordialement,
    Evitons la polémique. le problème du physicien, de tous physiciens, est de lié le réel, cad les résultats expérimentaux, au langage mathématique. Toute une catégorie de difficultés de la physique est là.
    ;
    Les physiciens utilisent des notions mathématiques de façon déformée, voire éronné. Parfois cela relève du laxisme mais d'autre fois c'est justifié par les contraintes d'usage.
    .
    C'est ainsi que pour un mathématicien une representation d'un groupe c'est une application. Pour le physicien c'est un jeu de matrices. Autrement dit les physiciens appellent representation ce que l'on appelle image de l'application en mathématiques. Il y a cela de bonnes raisons il suffit de mettre en musique concrètement la théorie de representations des groupes pour s'apercevoir comment fonctionne ce glissement sémantique, un glissement de substitution.
    .
    C'est d'ailleurs l'occasion de souligner le gap de pensée de méthodes de langage qui séparent les physiciens et les mathématiciens. C'est un problème permanent à l'enseignement du lycée au supérieur qui perdure.

  22. #18
    invite986312212
    Invité

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    C'est ainsi que pour un mathématicien une representation d'un groupe c'est une application. Pour le physicien c'est un jeu de matrices. Autrement dit les physiciens appellent representation ce que l'on appelle image de l'application en mathématiques.
    rassure-toi, ça se fait aussi en maths de confondre application et image, même si l'objet important c'est l'application. Par contre, penser représentation d'un groupe en termes de matrices, c'est un peu restrictif il me semble.

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  24. #19
    mariposa

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    rassure-toi, ça se fait aussi en maths de confondre application et image, même si l'objet important c'est l'application. Par contre, penser représentation d'un groupe en termes de matrices, c'est un peu restrictif il me semble.
    .
    Cà peut paraitre restrictrif, probablement pour le mathématicien, mais pour le physicien c'est presque automatique. J'explique pourquoi.
    .
    L'objet mathématique royal des physiciens c'est H l'opérateur hamiltonien qui agit dans un espace de Hilbert de dimension N .

    H est souvent invariant sous des transformations G qui forment un groupe (le plus souvent un groupe géométrique) cad que le commutateur [H,O] = 0 où O represente un élement de symétrie ce qui donne une matrice N.N.
    .
    C'est ainsi que l'écriture de H dans une base induit automatiquement une represention D du groupe G de dimension N.
    .
    Le jeu suivant consiste a décomposer la representation D en representation irréductibles de G, ce qui revient a diagonaliser par blocs H.
    .
    On voit ainsi pourquoi les physiciens associent jeu de matrices a representation.

  25. #20
    homotopie

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par mariposa
    Dans certains domaines de la physique la topologie des groupes de Lie jouent un role important. C'est notamment le cas des défauts topologiques associés aux transitions de phase des matériaux dont le classement est rattaché aux classes d'homotopie.
    J'ai des collègues matheux pour qui les particules sont de simples classes de cohomologie.
    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Quand il s'agit de groupe continu, ces derniers sont définis par des paramètres: Exemple: le groupe de transformations O(3) qui laisse invariant la sphère est défini par 3 paramètres (par exemple les 3 angles d'Euler). Ces groupes ont la structure de variété qui est définie par ses coordonnées qui sont les paramètres qui ont un domaine de définition (les valeurs prises par les 3 angles d'Euler).
    Dans "mon langage", c'est un espace homéomorphe au groupe mais pour lequel la structure de groupe n'est pas supposée.
    La réponse reste la même mais je vais simplifier (du moins je l'espère) :
    i) il existe des obstructions topologiques ou homotopiques, du type que j'ai donné pour S2 ou pour le disque avec bord (être homogène est quand même un minimum pour espérer avoir une structure de groupe ), à l'existence d'une structure de groupe sur un espace donné. Il en existe d'autres : le groupe fondamental opère trivialement sur les autres groupes d'homotopie pour un groupe continu donc si ce n'est pas le cas aucun espoir,...
    ii) on sait montrer que tout groupe continu est à homotopie près un espace de lacets d'un autre espace (appelé espace classifiant) l'opération de groupes étant le recollement des lacets (on peut définir cet espace des lacets de telle manière qu'il soit un vrai groupe continu quitte à quotienter un peu) et dans mon domaine de prédilection qu'est la topologie algébrique c'est par ce biais que l'on étudie le plus le lien entre la topologie et la structure de groupe (ou plus généralement d'H-espace). Par contre, la construction de l'espace classifiant n'a rien d'évident en général sauf si la topologie de l'espace sur lequel il existe une structure de groupe est très simple comme le cercle par exemple. .
    iii) dans la pratique, généralement je fait "comme tout le monde" je reconnais un homéomorphisme avec un espace qui admet une structure de groupe (disque troué avec le plan troué, et hop multiplication des complexes non nuls, ou avec un cylindre et hop S1xR) ou quotient d'un groupe par un sous-groupe distingué RP3=S3/Z2... quand je n'en trouve pas je cherche une obstruction (advienne que pourra...)...

    Citation Envoyé par Michel (mmy)
    S2 --> non

    S2 avec 1 trou (bord non inclus, comme partout après) = plan --> oui, R²

    S2, 2 trous = cylindre --> oui, R²/Z

    S2, trois trous et plus ??

    tore --> oui, R²/Z²

    tore, 1 trou et plus??

    RP2 --> non (?)

    RP2, un trou = ruban de moebius --> oui (?) R/Z xx R (avec xx produit semi-direct)

    RP2, 2 trous et plus??

    bretzel n anses --> oui (?) (par pavage du plan hyperbolique, H/Z² ??)

    bretzel 1 trou ??

    bouteille de Klein --> oui (?) H/Z² ?? ou R/Z xx R/Z ??

    plan hyperbolique --> oui , R² ??? ou R xx R ???

    plan hyperbolique, 1 trou et plus ??
    Et, c'est tout ?
    RP² je confirme, c'est non le revêtement universel d'un groupe est un groupe or S2 n'en est pas un.
    Le ruban de Moebius est un H-espace (pas dur, homotopiquement c'est un cercle) est-ce qu'on peut définir une structure de groupe stricto sensu ?
    Je réfléchis à tout ça.

  26. #21
    invité576543
    Invité

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Et, c'est tout ?
    Pour les surfaces, oui. Après on passe aux volumes

    Le ruban de Moebius est un H-espace (pas dur, homotopiquement c'est un cercle) est-ce qu'on peut définir une structure de groupe stricto sensu ?
    Je réfléchis à tout ça.
    Pour le ruban de möbius, je n'arrive pas à me faire une opinion s'il est homogène ou non. J'ai l'impression qu'il y a nécessairement un équateur particulier, auquel cas ce n'est pas homogène. Cet équateur particulier est celui dont les points sont invariants par une translation équatoriale de 1/2, les points des autres équateurs étant seulement invariants par une translation équatoriale de 1.

    Cordialement,

  27. #22
    homotopie

    Re : De la topologie au groupe

    Au fait Michel, je viens de me souvenir d'un théorème tout groupe de Lie est topologiquement le produit d'un de ses sous-groupes compacts maximaux et d'un espace contractile.http://www.math.sciences.univ-nantes...r0506/ueb4.pdf
    Surface qui est un groupe continue et localement compact=>c'est un groupe de Lie (quitte à redéfinir sa paramétrisation ce qui ne change pas sa topologie).
    Son compact maximal est de dimension 0=>surface contractile=>R²
    Son compact maximal est de dimension 1=>S1xR=disque sans bord=plan troué=...
    Son compact maximal est de dimension 2=>son tore maximal qui est de dimension au moins 1 et dont la dimension diffère du groupe d'un nombre pair est donc de dimension 2=>tore
    Toute autre surface n'admet pas de structure de groupe continue.
    Maintenant peut-il y avoir des structures de groupes non isomorphes ? Non il suffit de regarder les algèbres de Lie possibles en dimension 2, il n'y en a qu'une : la commutative.
    Volume :
    compact maximal dimension 0=>R3
    compact maximal dimension 1=>S1xR²
    compact maximal dimension 2=>torexR
    compact maximal dimension 3=>
    tore maximal dimension 3-0=3=>S13=T3
    tore maximal dimension 3-2=1 =>algèbre de Lie=su(2)=>SU(2) (le simplement connexe) ou SO(3) (son seul quotient).
    La classification des algèbres de Lie=>structure unique à iso près

    Variété dimension supérieure, même principe en s'appuyant sur la classification des groupes simples et des algèbres de Lie.
    On doit commencer à voir apparaître des produits semi-directs non triviaux car RxxR (dur de ne pas être trivial Aut(R)={id} continuité ou non) idem pour tout RxxG, Aut(S1)=Z/2Z tout morphisme de groupe de R->Z/2 est trivial car tout réel admet une moitié donc est un double et donc son image est nuil dans Z/2Z.
    Par contre un petit S3xxR ou S3xxS1 grâce à une application sur un sous-groupe à un paramètre de S3 et en prenant pour automorphisme la conjugaison par les éléments de ce sous-groupe est possible (a priori je n'ai pas regardé en détail).

  28. #23
    invité576543
    Invité

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Au fait Michel, je viens de me souvenir d'un théorème tout groupe de Lie est topologiquement le produit d'un de ses sous-groupes compacts maximaux et d'un espace contractile.http://www.math.sciences.univ-nantes...r0506/ueb4.pdf
    Surface qui est un groupe continue et localement compact=>c'est un groupe de Lie (quitte à redéfinir sa paramétrisation ce qui ne change pas sa topologie).
    Son compact maximal est de dimension 0=>surface contractile=>R²
    Son compact maximal est de dimension 1=>S1xR=disque sans bord=plan troué=...
    Son compact maximal est de dimension 2=>son tore maximal qui est de dimension au moins 1 et dont la dimension diffère du groupe d'un nombre pair est donc de dimension 2=>tore
    Toute autre surface n'admet pas de structure de groupe continue.
    Intéressant. En particulier rien de spécial pour le plan hyperbolique et ses dérivés!

    On doit commencer à voir apparaître des produits semi-directs non triviaux car RxxR (dur de ne pas être trivial Aut(R)={id} continuité ou non)
    Je ne comprends pas. J'utilise R pour noter (dans le contexte présent) les réels comme groupe additif, pas comme corps. Il y a donc tous les x --> ax comme automorphismes, non? Je pensais en particulier à utiliser x --> -x. Mais je n'ai pas cherché a construire un groupe, trop chose sur FS (entre autres), je papillonne un peu trop..

    Cordialement,

  29. #24
    invité576543
    Invité

    Re : De la topologie au groupe

    Bien, j'avais besoin d'un cours de rafraichissement sur le produit semi-direct.

    L'opération sur les couples de réels

    (a, b).(c,d) = (a+ebc, b+d)

    n'est-elle pas une opération de groupe?

    Elément neutre (0,0)

    Inverse de (a,b): (-e-ba, -b)

    associativité trop compliquée pour ce soir, c'est peut-être ça qui foire.


    Si c'est un groupe, on ne peut pas le noter RxxR ?

    (Ce n'est pas ce que j'avais en tête en fait, mais je ne trouve pas de morphisme de R sur {1, -1}. Je pensais bêtement que puisqu'il y en a un de Z sur {1, -1}, ça s'étendait à R : les réels pairs, c'est pas ça qu'est ça...)

    Ou ai-je écrit encore trop vite une ânerie?

    Cordialement,

  30. Publicité
  31. #25
    homotopie

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par Michel (mmy)
    Je ne comprends pas. J'utilise R pour noter (dans le contexte présent) les réels comme groupe additif, pas comme corps. Il y a donc tous les x --> ax comme automorphismes, non? Je pensais en particulier à utiliser x --> -x. Mais je n'ai pas cherché a construire un groupe, trop chose sur FS (entre autres), je papillonne un peu trop..

    Cordialement,
    Tu as raison, désolé. Autgp cont(R) est isomorphe à (R*,.) RxxR continu on a (R,+)->Autgp cont(R)=+/-(R*,.)
    R est connexe et 0->id donc l'image de R est dans R+. On a un morphisme continu de groupe (R,+)->(R+,.) donc est une exponentielle.
    (x,y)(x',y')=(x+eayx',y+y') pour un réel a donne a priori une autre structure de groupe sur R².
    Ca c'est bien moi je maîtrise tellement mal les groupes continus non compacts d'une manière générale (normal homotopiquement les groupes de Lie sont des groupes compacts) que j'avais oublié qu'il y avait des structures de groupes plus complexes.
    Par contre RxxS1 S1 qui s'envoie comme groupe continuement dans (R*,.) s'envoie sur un compact connexe donc sur aucun élément négatif et sur aucun élément positif dont les puissances tendent vers l'infini ou vers 0 donc est constante égale à 1 ou IdR selon l'endroit où on se place.
    S1xxR, l'obstruction reste pour x réel on a dans Aut(S1) f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)+f(x/2)=2f(x/2)=idS1.

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Intéressant. En particulier rien de spécial pour le plan hyperbolique et ses dérivés!
    Ce plan se différencie géométriquement de R² mais est topologiquement un plan puisqu'un de ses modèles est un disque ouvert (et homotopiquement un point).

    Je ne pense pas m'être trompé sur les surfaces et variétés de dimension 3 admettant des structures de groupes, par contre il y a plus de groupes que je n'ai dit. Il y a aussi certainement au moins un produit non trivial R²xxS1 (SU(1,1) en est un, non ?).

    EDIT : désolé, j'ai pris tellement de temps pour répondre que je n'avais pas vu le dernier post.

  32. #26
    invité576543
    Invité

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Ce plan se différencie géométriquement de R² mais est topologiquement un plan puisqu'un de ses modèles est un disque ouvert (et homotopiquement un point).
    Je pensais surtout à ses dérivés, comme le bretzel ou la BK. R²/Z² donne le tore, je vois cela par les pavages.

    Je ne maîtrise pas suffisamment le plan hyperbolique pour comprendre pourquoi les quotients par les pavages ne donnent pas de groupes. Les translations ne seraient pas un groupe distingué?

    Cordialement,

  33. #27
    homotopie

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Je pensais surtout à ses dérivés, comme le bretzel ou la BK. R²/Z² donne le tore, je vois cela par les pavages.

    Je ne maîtrise pas suffisamment le plan hyperbolique pour comprendre pourquoi les quotients par les pavages ne donnent pas de groupes. Les translations ne seraient pas un groupe distingué?

    Cordialement,
    Je ne le maîtrise pas non plus. Mais, ses quotients ne sont pas réalisés par des sous-groupes discrets de lui-même mais par des sous-groupes discrets de son groupe d'isométrie ou d'automorphismes qui ne lui est pas homéomorphes (dim=3 si je ne me trompe pas) contrairement à Z² qui est un sous-groupe discret distingué de R².
    Dans mon post précédent est montré que RxxR continu est nécessairement de la forme (x,y)(x',y')=(x+eay,y+y') ce qui est isomorphe pour a non nul à RxxR avec la loi (x,y)(x',y')=(x+eyx',y+y') avec comme isomorphisme de groupe continu du 1er vers le second (x,y)->(x,ay). Maintenant est-il possible qu'il y ait une structure sur le plan topologique sans sous-groupe de dimension 1 distingué, je ne pense pas. L'image par le crochet de Lie par antisymétrie est engendré par un unique crochet donc engendre un sous-groupe à un paramètre qui est le groupe dérivé. (Argument valable également pour un groupe de dimension 2 dont le compact maximal est de dimension 1)
    Maintenant, est-ce que RxxR peut avoir des sous-groupes discrets ( si on veut que le quotient soit de dimension 2) distingué ? Mais les conjugués d'un élément de ce sous-groupe (donc appartenant à ce sous-groupe puisque distingué) par la conjugaison de RxxR ne saurait être discret sans être réduit à un point puisque RxxR est continu donc cet élément est central et par là même égal à (0,0). Le seul sous-groupe discret et distingué est {0} ce groupe n'engendre pas de groupe continu de dimension 2 autre que lui-même.
    Voilà qui règle le cas pour les syrfaces il me semble.

    Au fait une surface non orientée ne saurait être un groupe.

  34. #28
    homotopie

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Au fait une surface non orientée ne saurait être un groupe.
    Changer "non orientée" en "non orientable" gagne en précision.
    La raison est que l'action de groupe agit aussi sur les formes différentielles. Ainsi une forme volume qui va bien en l'origine qui existe toujours peut être déplacée par l'action de groupe, on définit alors une forme volume qui va bien sur toute la variété.

  35. #29
    invité576543
    Invité

    Re : De la topologie au groupe

    Bonjour,

    Je peine à te suivre, mais j'aimerais!

    A ma petite vitesse d'escargot, je me pose des questions plus simples.

    Est-ce qu'il y a une relation entre le plan hyperbolique et RxxR ?

    Ton avant-dernier message pourrait laisser le penser, mais ce n'est pas explicite.

    Topologiquement, RxxR semble homéomorphe à R². On a, pour n positif ou nul,



    l'ordre est infini.

    On aurait deux structures de groupe pour une même topologie.

    Mais H et E2 ont la même topologie, mais une géométrie différente; comme géométrie = plus ou moins groupe, il serait élégant que (R², +) soit à E2 ce que RxxR est à H. Mais est-ce le cas? Dans les textes que je trouve sur H sur le web, aucune diagonalisation rapide ne m'a permis de repérer quelque chose comme ça...

    Mais il y a un changement de paramètre intéressant. On peut noter avec des couples de RxR+*

    (a,b').(c,d') = (a+b'c, b'd')

    en notant b'=eb avec le b de l'autre formule.

    Les paramètres sont ceux du plan de Poincaré, ça amène peut-être quelque part...

    Cordialement,

  36. #30
    homotopie

    Re : De la topologie au groupe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Est-ce qu'il y a une relation entre le plan hyperbolique et RxxR ?
    Bonne question comme ma lecture en diagonale n'a rien trouvé non plus là dessus j'ai supposé que non mais :
    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Mais il y a un changement de paramètre intéressant. On peut noter avec des couples de RxR+*

    (a,b').(c,d') = (a+b'c, b'd')

    en notant b'=eb avec le b de l'autre formule.

    Les paramètres sont ceux du plan de Poincaré, ça amène peut-être quelque part...
    j'en doute fortement désormais.
    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    comme géométrie = plus ou moins groupe, il serait élégant que (R², +) soit à E2 ce que RxxR est à H.
    Ce serait élégant en effet et cf ci-après ça semble le cas (en version non commutative un seul côté fonctionne).

    Citation Envoyé par Michel(mmy)
    Topologiquement, RxxR semble homéomorphe à R².
    Ils sont homéomorphes du point de vu de la topologie un produit et un produit semi-direct sont identiques.
    Citation Envoyé par Michel(mmy)
    On aurait deux structures de groupe pour une même topologie.
    En effet, on a aussi (au moins deux) plusieurs sur R²xS1 S1 s'injecte dans Aut(R²).

    Je viens de refaire un tour du côté du plan de Poincaré on a
    Est-ce que le produit à gauche par (x',y') fixé laisse invariant la métrique ?
    Avec la nouvelle reformulation du produit
    (x',y')(x,y)=(x'+y'x,y'y) donc et après simplification par y'² on réobtient bien ds². Le produit à gauche par un élément est donc isométrique.
    Par contre à droite j'obtiens ce n'est donc une isométrie que si x'=0 et y'=1 bref seul le produit par l'élément neutre est une isométrie.
    Avec ce produit, H s'injecte via le produit à gauche dans Iso(H).

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