Bonjour,
C'est une question de physicien posée aux mathématiciens.
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Soit un groupe G continu et définie par sa topologie T.
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Peux-t-on trouver des groupes ou des modèles de groupe qui respecte cette topologie?
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Plus concrètement supposons que la topologie soit un disque plein avec un trou au milieu. Cela permet-il de "calculer" le groupe ?
salut,
si la question est: étant donné un espace topologique, existe-t-il un groupe topologique qui lui soit homéomorphe? je pense que la réponse est non, parce que (d'après mes souvenirs) les groupes topologiques sont nécessairement métrisables (mais c'est peut-être faux). Quoi qu'il en soit, on sait construire des topologies très bizarres, alors ça ne m'étonnerait pas qu'il y en ait pour lesquelles ça ne marche pas.
mais Homotopie, s'il rôde dans le coin, te donnera certainement la réponse définitive
;Envoyé par ambrosio
salut,
si la question est: étant donné un espace topologique, existe-t-il un groupe topologique qui lui soit homéomorphe? je pense que la réponse est non, parce que (d'après mes souvenirs) les groupes topologiques sont nécessairement métrisables (mais c'est peut-être faux). Quoi qu'il en soit, on sait construire des topologies très bizarres, alors ça ne m'étonnerait pas qu'il y en ait pour lesquelles ça ne marche pas.
mais Homotopie, s'il rôde dans le coin, te donnera certainement la réponse définitive
En attendant homotopie j'essaie de préciser ma réponse en précisant un peu le contexte physique.
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Soit un espace sur lequel agit des transformations de cet espace (des automorphismes). Ces transformations forment un groupe G. En physique il s'agit des groupes de Lie qui sont des variétés.
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On peut avoir besoin d'étudier la topologie globale de cette variété, d'où l'usage des groupes d'homotopie.
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La question est peut-t-on effectuer l'opération inverse cad trouver le groupe a partir de sa topologie. plus concretement en supposant que la topologie c'est un disque avec un trou, trouver un groupe modèle.
1ère réponse rapide :
Un groupe topologique est homotopiquement un espace de lacet. Il existe un fibréavec
De manière générale cela ne suffit pas (à ma connaissance) pour imposer le type d'homotopie de BG sauf cas exceptionnels comme pour un disque troué qui est homotopiquement un cercle qui n'a qu'un groupe d'homotopie non trivial. Ceci impose que BS1 n'a qu'un groupe d'homotopie non trivial
Est-ce que cela implique que deux structures de groupe sur le disque troué en font deux groupes isomorphes, je ne sais pas.
La même question pour S3 est nettement plus dur car il existe des opérations entre les divers groupes d'homotopie d'un espace et S3 en a une infinité non triviaux (cf. Serre, c'est vrai pour toutes les sphères). Et là rien (d'immédiat en tout cas) n'implique qu'il y ait unicité de "BS3" càd d'espace vérifiant
Pour les autres groupes de Lie, c'est encore plus délicat.
Bonsoir,
Je comprends la question de mariposa comme plus simple: exhiber un groupe à partir d'une topologie donnée, pas tous!
(Pour le disque troué, je lui en ai proposé quelques-uns dans un autre fil, mais il faudrait que ça vienne d'une source certifiée...)
Cordialement,
J'ai du mal a suivre.1ère réponse rapide :
Un groupe topologique est homotopiquement un espace de lacet. Il existe un fibré
De manière générale cela ne suffit pas (à ma connaissance) pour imposer le type d'homotopie de BG sauf cas exceptionnels comme pour un disque troué qui est homotopiquement un cercle qui n'a qu'un groupe d'homotopie non trivial. Ceci impose que BS1 n'a qu'un groupe d'homotopie non trivial
Est-ce que cela implique que deux structures de groupe sur le disque troué en font deux groupes isomorphes, je ne sais pas.
La même question pour S3 est nettement plus dur car il existe des opérations entre les divers groupes d'homotopie d'un espace et S3 en a une infinité non triviaux (cf. Serre, c'est vrai pour toutes les sphères). Et là rien (d'immédiat en tout cas) n'implique qu'il y ait unicité de "BS3" càd d'espace vérifiant
Pour les autres groupes de Lie, c'est encore plus délicat.
Je voudrais d'abord m'assurer que la question est bien posée. Je la reformule avec un exemple.
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Soit SO(3). On démontre que l'espace des paramètres de SO(3) est une sphère solide de rayon Pi où les points antipodaux sont identifiés, donc RP(3).
Question: Si je donne RP3 peut-on trouver SO(3)?
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Application: je donne un disque plein (origine exclue), quel est le groupe?
Bonsoir,
Je profite du fil pour poser une question similaire qui me turlupine depuis quelques jours. Partons de S2, la sphère. Comment trouver un groupe qui ait la topologie de la sphère? Il me semblait connaître un tel groupe dans le temps, mais je ne le retrouve plus.
Dans le cas de S2, qui est homogène, il y a une procédure qui doit marcher: on prends un groupe agissant transitivement, ici SO(3) vient évidemment à l'esprit, on choisit un point A de la sphère, et on quotiente SO(3) par le sous-groupe stabilisateur de A. Il me semble qu'on obtient alors un groupe isomorphe à l'espace d'origine.
Mais à quoi ressemble ce fichu groupe pour S2? Est-il isomorphe à quelque chose de défini plus simplement?
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La même procédure doit marcher pour pour toute variété homogène, par exemple pour RP(3); j'imagine qu'on trouve alors SO(3).
Pour le disque troué, il suffit de le transformer topologiquement en espace homogène; le plan moins un point ou le cylindre viennent à l'esprit. Et on applique alors la même procédure.
Dans le cas du cylindre, les translations (sur la surface du cylindre, précisons) agissent transitivement et constituent un groupe isomorphe à R² (suffit de dérouler le cylindre...). Le quotient est R²/Z (il y a exactement une translation laissant invariant A par classe de lacet).
Cordialement,
Dernière modification par Rincevent ; 19/03/2008 à 14h39. Motif: correction coquilles
pure ânerie
Bonjour,
Autre erreur: il fallait lire S2, et non pas S3, je me suis encore une fois mélangé dans les noms...
*** corrigé dans le message initial... Pour la modération***
Mais la question, reste, càd d'un groupe homéomorphe à S2...
Cordialement,
Dernière modification par Rincevent ; 19/03/2008 à 14h41.
au fait, le "disque à trou central" s'il n'y a pas les bords, c'est homéomorphe au plan privé d'un point et ça c'est possible de le voir comme le groupe multiplicatif des complexes.
Avec les bords ça ne marche pas ;-(
A rien, il n'existe pas.
Vu par un topologue algébriste, si S2 était un groupe topologique alors sa cohomologie rationnelle (sa partie libre) serait une algèbre graduée commutative libre, or il existe un élément sphérique de degré 2 (
En restant plus dans la théorie des groupes de Lie, si S2 était muni d'une structure de groupe continu alors on peut lisser sa structure de variété pour en faire un groupe de Lie. Son rang (dimension de son tore maximale) est >=1 et <=dimension de S2=2 et a même parité que S2 donc est égal à 2. La sphère S2 contiendrait donc un tore de dimension 2 ce qui n'est guère possible.
Pour info (mais c'est plus difficile d'éliminer les sphères paires), seules les sphères S0, S1, S3 et S7 admettent des structures de H-espace (+/- groupe à homotopie près : on transforme les axiomes de groupe en diagramme commutatif et on ne demande plus que la commutation à homotopie près), ce résultat est du à Adams.
Non on obtient un espace...homogène. Un espace homogène est en fait le quotient d'un groupe de Lie par un sous-groupe, il n'est un groupe que si le sous-groupe est distingué.
De manière générale savoir à partir de la topologie si elle est compatible avec une structure de groupe est très ardu.
...
Sauf cas évident : un disque avec les bords n'est pas homogène donc l'application produit qui envoie un point intérieur sur un point du bord n'a aucune chance d'être un homéomorphisme contrairement à ce qui se passe dans un groupe.
Qu'appelles-tu "espace des paramètres " ou je pense plus exactement qu'appellent les physiciens "espace des paramètres" ?
Merci! Je vois bien mon erreur, maintenant.
Cordialement,
Bonjour,
Quid des autres surfaces?
S2 --> non
S2 avec 1 trou (bord non inclus, comme partout après) = plan --> oui, R²
S2, 2 trous = cylindre --> oui, R²/Z
S2, trois trous et plus ??
tore --> oui, R²/Z²
tore, 1 trou et plus??
RP2 --> non (?)
RP2, un trou = ruban de moebius --> oui (?) R/Z xx R (avec xx produit semi-direct)
RP2, 2 trous et plus??
bretzel n anses --> oui (?) (par pavage du plan hyperbolique, H/Z² ??)
bretzel 1 trou ??
bouteille de Klein --> oui (?) H/Z² ?? ou R/Z xx R/Z ??
plan hyperbolique --> oui , R² ??? ou R xx R ???
plan hyperbolique, 1 trou et plus ??
Cordialement,
Dans le langage des physiciens on parle de transformations qui laissent invariant quelquechose (une géométrie, une équation etc..) ces transformations forment un groupe. (Dans le langage des mathématiciens on parle d'automorphismes, me semble-t-il).
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Quand il s'agit de groupe continu, ces derniers sont définis par des paramètres: Exemple: le groupe de transformations O(3) qui laisse invariant la sphère est défini par 3 paramètres (par exemple les 3 angles d'Euler). Ces groupes ont la structure de variété qui est définie par ses coordonnées qui sont les paramètres qui ont un domaine de définition (les valeurs prises par les 3 angles d'Euler).
Dans certains domaines de la physique la topologie des groupes de Lie jouent un role important. C'est notamment le cas des défauts topologiques associés aux transitions de phase des matériaux dont le classement est rattaché aux classes d'homotopie.
;
Donc pour le physicien qui veut étudier une transition de phase, il faut qu'il trouve les paramètres qui décrivent la transition de phase. Dans ce cas l'appellation est paramètres d'ordre. Après quoi l'étude topologique lui permettra de prévoir ou reconnaitre les défauts topologiques.
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Je ne pense pas. C'est ce que j'ai essayé de faire:
http://forums.futura-sciences.com/thread27554-10.html
voir post 164#
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En fait je trouve que la topologie est 2 espaces deconnectés!
Que penses-tu de cette démonstration. Est-elle juste? Est-t-elle fausse?
Bonjour,
Le poste #164 montre les dégâts que peuvent amener la vision par les paramètres, quand la paramétrisation est mal choisie!
La réponse sur l'autre fil présente une autre paramétrisation, mieux adaptée (par le logarithme
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Mais ça n'a pas l'air de convenir.
Ce qui fait plaisir avec mariposa c'est que je (et d'autres j'imagine) ne sont pas physiciens (par définition, pour mariposa, comme visible dans son emploi du mot "physicien", un physicien est quelqu'un qui raisonne comme lui, qui a les mêmes définitions que lui, etc.), et je ne suis pas mathématicien: quand je lui oppose des arguments mathématique, il les ignore...
Merci donc aux mathématiciens patentés, selon la classification de mariposa, de lui répondre, si possible en termes abscons et utilisant un tas de formules et de termes complexes qui, par leur présence même, rendront la réponse valide.
Cordialement,
.Bonjour,
Le poste #164 montre les dégâts que peuvent amener la vision par les paramètres, quand la paramétrisation est mal choisie!
La réponse sur l'autre fil présente une autre paramétrisation, mieux adaptée (par le logarithme
Il est curieux que tu ne voulais pas entendre parler de paramètrisations (tu t'es répété de nombreuses fois sur ette question). il semble que tu as changer sur ce point.
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Maintenant comme je l'ai écrit N fois, ce qui m'intéresse, en tant que physicien, ce ne sont pas d'abord les généralités, mais l'application concrète.
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En clair puisque tu proposes des paramètres, n'en reste pas aux principes, va jusqu'au bout. Détermine la topologie de ces complexes en utilisant les paramètres que tu proposes (ou d'autres).
Evitons la polémique. le problème du physicien, de tous physiciens, est de lié le réel, cad les résultats expérimentaux, au langage mathématique. Toute une catégorie de difficultés de la physique est là.Ce qui fait plaisir avec mariposa c'est que je (et d'autres j'imagine) ne sont pas physiciens (par définition, pour mariposa, comme visible dans son emploi du mot "physicien", un physicien est quelqu'un qui raisonne comme lui, qui a les mêmes définitions que lui, etc.), et je ne suis pas mathématicien: quand je lui oppose des arguments mathématique, il les ignore...
Merci donc aux mathématiciens patentés, selon la classification de mariposa, de lui répondre, si possible en termes abscons et utilisant un tas de formules et de termes complexes qui, par leur présence même, rendront la réponse valide.
Cordialement,
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Les physiciens utilisent des notions mathématiques de façon déformée, voire éronné. Parfois cela relève du laxisme mais d'autre fois c'est justifié par les contraintes d'usage.
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C'est ainsi que pour un mathématicien une representation d'un groupe c'est une application. Pour le physicien c'est un jeu de matrices. Autrement dit les physiciens appellent representation ce que l'on appelle image de l'application en mathématiques. Il y a cela de bonnes raisons il suffit de mettre en musique concrètement la théorie de representations des groupes pour s'apercevoir comment fonctionne ce glissement sémantique, un glissement de substitution.
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C'est d'ailleurs l'occasion de souligner le gap de pensée de méthodes de langage qui séparent les physiciens et les mathématiciens. C'est un problème permanent à l'enseignement du lycée au supérieur qui perdure.
rassure-toi, ça se fait aussi en maths de confondre application et image, même si l'objet important c'est l'application. Par contre, penser représentation d'un groupe en termes de matrices, c'est un peu restrictif il me semble.
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Cà peut paraitre restrictrif, probablement pour le mathématicien, mais pour le physicien c'est presque automatique. J'explique pourquoi.
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L'objet mathématique royal des physiciens c'est H l'opérateur hamiltonien qui agit dans un espace de Hilbert de dimension N .
H est souvent invariant sous des transformations G qui forment un groupe (le plus souvent un groupe géométrique) cad que le commutateur [H,O] = 0 où O represente un élement de symétrie ce qui donne une matrice N.N.
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C'est ainsi que l'écriture de H dans une base induit automatiquement une represention D du groupe G de dimension N.
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Le jeu suivant consiste a décomposer la representation D en representation irréductibles de G, ce qui revient a diagonaliser par blocs H.
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On voit ainsi pourquoi les physiciens associent jeu de matrices a representation.
J'ai des collègues matheux pour qui les particules sont de simples classes de cohomologie.
Dans "mon langage", c'est un espace homéomorphe au groupe mais pour lequel la structure de groupe n'est pas supposée.
La réponse reste la même mais je vais simplifier (du moins je l'espère) :
i) il existe des obstructions topologiques ou homotopiques, du type que j'ai donné pour S2 ou pour le disque avec bord (être homogène est quand même un minimum pour espérer avoir une structure de groupe), à l'existence d'une structure de groupe sur un espace donné. Il en existe d'autres : le groupe fondamental opère trivialement sur les autres groupes d'homotopie pour un groupe continu donc si ce n'est pas le cas aucun espoir,...
ii) on sait montrer que tout groupe continu est à homotopie près un espace de lacets d'un autre espace (appelé espace classifiant) l'opération de groupes étant le recollement des lacets (on peut définir cet espace des lacets de telle manière qu'il soit un vrai groupe continu quitte à quotienter un peu) et dans mon domaine de prédilection qu'est la topologie algébrique c'est par ce biais que l'on étudie le plus le lien entre la topologie et la structure de groupe (ou plus généralement d'H-espace). Par contre, la construction de l'espace classifiant n'a rien d'évident en général sauf si la topologie de l'espace sur lequel il existe une structure de groupe est très simple comme le cercle par exemple.
iii) dans la pratique, généralement je fait "comme tout le monde" je reconnais un homéomorphisme avec un espace qui admet une structure de groupe (disque troué avec le plan troué, et hop multiplication des complexes non nuls, ou avec un cylindre et hop S1xR) ou quotient d'un groupe par un sous-groupe distingué RP3=S3/Z2... quand je n'en trouve pas je cherche une obstruction (advienne que pourra...)...
Et, c'est tout ?
RP² je confirme, c'est non le revêtement universel d'un groupe est un groupe or S2 n'en est pas un.
Le ruban de Moebius est un H-espace (pas dur, homotopiquement c'est un cercle) est-ce qu'on peut définir une structure de groupe stricto sensu ?
Je réfléchis à tout ça.
Pour les surfaces, oui. Après on passe aux volumesEt, c'est tout ?
Pour le ruban de möbius, je n'arrive pas à me faire une opinion s'il est homogène ou non. J'ai l'impression qu'il y a nécessairement un équateur particulier, auquel cas ce n'est pas homogène. Cet équateur particulier est celui dont les points sont invariants par une translation équatoriale de 1/2, les points des autres équateurs étant seulement invariants par une translation équatoriale de 1.Le ruban de Moebius est un H-espace (pas dur, homotopiquement c'est un cercle) est-ce qu'on peut définir une structure de groupe stricto sensu ?
Je réfléchis à tout ça.
Cordialement,
Au fait Michel, je viens de me souvenir d'un théorème tout groupe de Lie est topologiquement le produit d'un de ses sous-groupes compacts maximaux et d'un espace contractile.http://www.math.sciences.univ-nantes...r0506/ueb4.pdf
Surface qui est un groupe continue et localement compact=>c'est un groupe de Lie (quitte à redéfinir sa paramétrisation ce qui ne change pas sa topologie).
Son compact maximal est de dimension 0=>surface contractile=>R²
Son compact maximal est de dimension 1=>S1xR=disque sans bord=plan troué=...
Son compact maximal est de dimension 2=>son tore maximal qui est de dimension au moins 1 et dont la dimension diffère du groupe d'un nombre pair est donc de dimension 2=>tore
Toute autre surface n'admet pas de structure de groupe continue.
Maintenant peut-il y avoir des structures de groupes non isomorphes ? Non il suffit de regarder les algèbres de Lie possibles en dimension 2, il n'y en a qu'une : la commutative.
Volume :
compact maximal dimension 0=>R3
compact maximal dimension 1=>S1xR²
compact maximal dimension 2=>torexR
compact maximal dimension 3=>
tore maximal dimension 3-0=3=>S13=T3
tore maximal dimension 3-2=1 =>algèbre de Lie=su(2)=>SU(2) (le simplement connexe) ou SO(3) (son seul quotient).
La classification des algèbres de Lie=>structure unique à iso près
Variété dimension supérieure, même principe en s'appuyant sur la classification des groupes simples et des algèbres de Lie.
On doit commencer à voir apparaître des produits semi-directs non triviaux car RxxR (dur de ne pas être trivial Aut(R)={id} continuité ou non) idem pour tout RxxG, Aut(S1)=Z/2Z tout morphisme de groupe de R->Z/2 est trivial car tout réel admet une moitié donc est un double et donc son image est nuil dans Z/2Z.
Par contre un petit S3xxR ou S3xxS1 grâce à une application sur un sous-groupe à un paramètre de S3 et en prenant pour automorphisme la conjugaison par les éléments de ce sous-groupe est possible (a priori je n'ai pas regardé en détail).
Intéressant. En particulier rien de spécial pour le plan hyperbolique et ses dérivés!
Je ne comprends pas. J'utilise R pour noter (dans le contexte présent) les réels comme groupe additif, pas comme corps. Il y a donc tous les x --> ax comme automorphismes, non? Je pensais en particulier à utiliser x --> -x. Mais je n'ai pas cherché a construire un groupe, trop chose sur FS (entre autres), je papillonne un peu trop..On doit commencer à voir apparaître des produits semi-directs non triviaux car RxxR (dur de ne pas être trivial Aut(R)={id} continuité ou non)
Cordialement,
Bien, j'avais besoin d'un cours de rafraichissement sur le produit semi-direct.
L'opération sur les couples de réels
(a, b).(c,d) = (a+ebc, b+d)
n'est-elle pas une opération de groupe?
Elément neutre (0,0)
Inverse de (a,b): (-e-ba, -b)
associativité trop compliquée pour ce soir, c'est peut-être ça qui foire.
Si c'est un groupe, on ne peut pas le noter RxxR ?
(Ce n'est pas ce que j'avais en tête en fait, mais je ne trouve pas de morphisme de R sur {1, -1}. Je pensais bêtement que puisqu'il y en a un de Z sur {1, -1}, ça s'étendait à R: les réels pairs, c'est pas ça qu'est ça...)
Ou ai-je écrit encore trop vite une ânerie?
Cordialement,
Tu as raison, désolé. Autgp cont(R) est isomorphe à (R*,.) RxxR continu on a (R,+)->Autgp cont(R)=+/-(R*,.)
R est connexe et 0->id donc l'image de R est dans R+. On a un morphisme continu de groupe (R,+)->(R+,.) donc est une exponentielle.
(x,y)(x',y')=(x+eayx',y+y') pour un réel a donne a priori une autre structure de groupe sur R².
Ca c'est bien moi je maîtrise tellement mal les groupes continus non compacts d'une manière générale (normal homotopiquement les groupes de Lie sont des groupes compacts) que j'avais oublié qu'il y avait des structures de groupes plus complexes.
Par contre RxxS1 S1 qui s'envoie comme groupe continuement dans (R*,.) s'envoie sur un compact connexe donc sur aucun élément négatif et sur aucun élément positif dont les puissances tendent vers l'infini ou vers 0 donc est constante égale à 1 ou IdR selon l'endroit où on se place.
S1xxR, l'obstruction reste pour x réel on a dans Aut(S1) f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)+f(x/2)=2f(x/2)=idS1.
Ce plan se différencie géométriquement de R² mais est topologiquement un plan puisqu'un de ses modèles est un disque ouvert (et homotopiquement un point).
Je ne pense pas m'être trompé sur les surfaces et variétés de dimension 3 admettant des structures de groupes, par contre il y a plus de groupes que je n'ai dit. Il y a aussi certainement au moins un produit non trivial R²xxS1 (SU(1,1) en est un, non ?).
EDIT : désolé, j'ai pris tellement de temps pour répondre que je n'avais pas vu le dernier post.
Je pensais surtout à ses dérivés, comme le bretzel ou la BK. R²/Z² donne le tore, je vois cela par les pavages.
Je ne maîtrise pas suffisamment le plan hyperbolique pour comprendre pourquoi les quotients par les pavages ne donnent pas de groupes. Les translations ne seraient pas un groupe distingué?
Cordialement,
Je ne le maîtrise pas non plus. Mais, ses quotients ne sont pas réalisés par des sous-groupes discrets de lui-même mais par des sous-groupes discrets de son groupe d'isométrie ou d'automorphismes qui ne lui est pas homéomorphes (dim=3 si je ne me trompe pas) contrairement à Z² qui est un sous-groupe discret distingué de R².
Dans mon post précédent est montré que RxxR continu est nécessairement de la forme (x,y)(x',y')=(x+eay,y+y') ce qui est isomorphe pour a non nul à RxxR avec la loi (x,y)(x',y')=(x+eyx',y+y') avec comme isomorphisme de groupe continu du 1er vers le second (x,y)->(x,ay). Maintenant est-il possible qu'il y ait une structure sur le plan topologique sans sous-groupe de dimension 1 distingué, je ne pense pas. L'image par le crochet de Lie par antisymétrie est engendré par un unique crochet donc engendre un sous-groupe à un paramètre qui est le groupe dérivé. (Argument valable également pour un groupe de dimension 2 dont le compact maximal est de dimension 1)
Maintenant, est-ce que RxxR peut avoir des sous-groupes discrets ( si on veut que le quotient soit de dimension 2) distingué ? Mais les conjugués d'un élément de ce sous-groupe (donc appartenant à ce sous-groupe puisque distingué) par la conjugaison de RxxR ne saurait être discret sans être réduit à un point puisque RxxR est continu donc cet élément est central et par là même égal à (0,0). Le seul sous-groupe discret et distingué est {0} ce groupe n'engendre pas de groupe continu de dimension 2 autre que lui-même.
Voilà qui règle le cas pour les syrfaces il me semble.
Au fait une surface non orientée ne saurait être un groupe.
Changer "non orientée" en "non orientable" gagne en précision.
La raison est que l'action de groupe agit aussi sur les formes différentielles. Ainsi une forme volume qui va bien en l'origine qui existe toujours peut être déplacée par l'action de groupe, on définit alors une forme volume qui va bien sur toute la variété.
Bonjour,
Je peine à te suivre, mais j'aimerais!
A ma petite vitesse d'escargot, je me pose des questions plus simples.
Est-ce qu'il y a une relation entre le plan hyperbolique et RxxR ?
Ton avant-dernier message pourrait laisser le penser, mais ce n'est pas explicite.
Topologiquement, RxxR semble homéomorphe à R². On a, pour n positif ou nul,
l'ordre est infini.
On aurait deux structures de groupe pour une même topologie.
Mais H et E2 ont la même topologie, mais une géométrie différente; comme géométrie = plus ou moins groupe, il serait élégant que (R², +) soit à E2 ce que RxxR est à H. Mais est-ce le cas? Dans les textes que je trouve sur H sur le web, aucune diagonalisation rapide ne m'a permis de repérer quelque chose comme ça...
Mais il y a un changement de paramètre
(a,b').(c,d') = (a+b'c, b'd')
en notant b'=eb avec le b de l'autre formule.
Les paramètres sont ceux du plan de Poincaré, ça amène peut-être quelque part...
Cordialement,
Bonne question comme ma lecture en diagonale n'a rien trouvé non plus là dessus j'ai supposé que non mais :
j'en doute fortement désormais.Mais il y a un changement de paramètre
(a,b').(c,d') = (a+b'c, b'd')
en notant b'=eb avec le b de l'autre formule.
Les paramètres sont ceux du plan de Poincaré, ça amène peut-être quelque part...
Ce serait élégant en effet et cf ci-après ça semble le cas (en version non commutative un seul côté fonctionne).
Ils sont homéomorphes du point de vu de la topologie un produit et un produit semi-direct sont identiques.
En effet, on a aussi (au moins deux) plusieurs sur R²xS1 S1 s'injecte dans Aut(R²).
Je viens de refaire un tour du côté du plan de Poincaré on a
Est-ce que le produit à gauche par (x',y') fixé laisse invariant la métrique ?
Avec la nouvelle reformulation du produit
(x',y')(x,y)=(x'+y'x,y'y) donc
Par contre à droite j'obtiens
Avec ce produit, H s'injecte via le produit à gauche dans Iso(H).
