Constitution du Groupe Symétrique S5

[invite6bacc516]

Bonsoir à tous !

Je passe par ici pour un petit problème auquel je suis confronté depuis que je recherche l'ensemble des petites bêtes qui trainent dans le groupe symétrique S_5 ( i.e. groupe des permutations de {1,...,5} dans lui même ^^ ).

Par propriété il y en a 5!=120 dont :

- L'identité ( 1 )
- Les transpositions ( 2 parmis 2 = 10 )
- Les 3-cycles ( 2!*(3 parmis 5) = 20 )
- Les 4-cycles ( 3!*(4 parmis 5) = 30 )
- Les 5-cycles ( 4! = 24 )
- Les transpositions à supports disjoints ( (2 parmis 5)*(2 parmis 3) = 30 )

Quelques conjectures comme une transposition composée avec un symétrique, ou plusieurs composées, n'ont pas donné grand chose : il m'en manque donc 5 pour arriver au bon compte et ... je ne vois vraiment pas où ils se cachent :s

Merci à vous, et bonne soirée !
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[invite57a1e779]

Par propriété il y en a 5!=120 dont :

- L'identité ( 1 )
- Les transpositions ( 2 parmis 2 = 10 )
- Les 3-cycles ( 2!*(3 parmis 5) = 20 )
- Les 4-cycles ( 3!*(4 parmis 5) = 30 )
- Les 5-cycles ( 4! = 24 )
- Les transpositions à supports disjoints ( (2 parmis 5)*(2 parmis 3) = 30 )

Je ne comprends pas ton dénombrement des 4-cycles, des 5-cycles et des "transpositions à supports disjoints".
En particulier, je pense que tu comptes deux fois chacune de ces dernières, et qu'il n'y en a que 15.

[invite57a1e779]

De plus, tu as oublié de dénombrer les permutations comme

qui sont produit d'un 3-cycle et d'une transposition, à supports disjoints.

[invite6bacc516]

Pour les 4 cycles tu prend 4 éléments dans E={1,...,5} et tu peux faire 3!=6 cycle différents avec ces 4 ci, et par définition on a (4 parmis 5)=5 possibilités de choisir 4 éléments dans E ... soit 30 en multipliant.

Pour les 5 cycles il n'y a qu'une seule possibilité : prendre tous les éléments de E, puis on a alors 4!=24 possibilités ... soit 24 en tout.

Pour les transpositions à support disjoints, il y a (2 parmis 5)=10 possibilités de transposition en tout, et pour l'une d'entre elle, on a (2 parmis 3)=3 possibilités pour la seconde ( qui devant être à support disjoint, doit choisir les éléments échangés dans ceux restants, soit 3 )... soit 30 en multipliant.

... Non ?

Je n'aime pas ce genre de choses où il faut compter ( pour ne l'avoir jamais fait sérieusement en fait, je met toujours ça sur le compte des choses peu intéressantes mais triviales, donc qu'il ne faut pas faire ... et donc qu'on ne sait pas faire quand il faut ! ), donc s'il y a une erreur de raisonnement ou un besoin de précisions, n'hésitez pas !

Bonne soirée !

Edit : Oui merci beaucoup, le problème c'est que là on en aurait 2*(2 parmis 5)=20 et ... c'est problématique quelque part

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6bacc516]

Edit 2 : Arf, ça doit venir du fait que les transpo à supports disjoints commutent, et quelque part je les compte 2 fois ... ça serait parfait mais ... je vois pas comment expliquer ça clairement :s

[invitebe0cd90e]

Pour les transpositions à support disjoints, il y a (2 parmis 5)=10 possibilités de transposition en tout, et pour l'une d'entre elle, on a (2 parmis 3)=3 possibilités pour la seconde ( qui devant être à support disjoint, doit choisir les éléments échangés dans ceux restants, soit 3 )... soit 30 en multipliant.

... Non ?

Bah non Des transpositions a support disjoint commutent, donc (a,b)(c,d)=(c,d)(a,b), donc tu les comptes effectivement 2 fois. Moralité yen a que 15, donc il te manquais 20 trucs, que tu as, tout tient la route.

[invite57a1e779]

Pour les transpositions à support disjoints, il y a (2 parmis 5)=10 possibilités de transposition en tout, et pour l'une d'entre elle, on a (2 parmis 3)=3 possibilités pour la seconde ( qui devant être à support disjoint, doit choisir les éléments échangés dans ceux restants, soit 3 )... soit 30 en multipliant.

Choisir la transposition (12), puis la transposition (34), ou choisir la transposition (34) puis la transposition (12), c'est la même chose. Tu comptes deux fois chaque produit de la forme (12)(34).

[invitebe0cd90e]

Joli tir groupé Pour l'expliquer clairement ya rien a faire, tu montre que tu comptes chacune d'elle 2 fois, donc tu divises par 2.

[invite6bacc516]

Merci à tous, vous êtes géniaux

Bonne soirée et à bientôt !