Une intégrale casse-pied

[Bleyblue]

Bonjour,

Je cherche à calculer l'intégrale :

(a un réel)

en intégrant dans les complexes par une méthode vue au cours mais je suis calé sur un point.

Si je considère la courbe constituée du demi cercle supérieur centré en 0 de rayon R et du segment [-R,R] alors j'ai :



L'intégrale du membre de gauche donne (grâce au théorème de Cauchy) :



Il me reste à prouver que la deuxième intégrale du memebre de droite tend vers 0 lorsque R tend vers l'infini ce qui n'est malheureusement pas le cas donc ma méthode (la seule que je connaisse) tombe à l'eau.

Comment pourrais-je m'en sortir ici ?

merci !
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[Flyingsquirrel]

Salut

Il me reste à prouver que la deuxième intégrale du memebre de droite tend vers 0 lorsque R tend vers l'infini ce qui n'est malheureusement pas le cas donc ma méthode (la seule que je connaisse) tombe à l'eau.

pour R assez grand. Donc l'intégrale tend bien vers 0, non ?

[invite57a1e779]

C'est vraiment vrai ça ?

[Flyingsquirrel]

Non, effectivement, le cosinus donne des exponentielles réelles qui divergent avec R. Je comprends mieux le problème de Bleyblue maintenant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Bonjour,

Je cherche à calculer l'intégrale :

(a un réel)

en intégrant dans les complexes par une méthode vue au cours mais je suis calé sur un point.

Si je considère la courbe constituée du demi cercle supérieur centré en 0 de rayon R et du segment [-R,R] alors j'ai :

Il faut commencer par écrire et se limiter à grâce à la parité du cosinus (le cas est immédiat...).

On écrit, comme tu l'as fait que l'on calcule par la formule des résidus.

Tout d'abord, donc, pour , .

Ensuite, .

Donc : .

On se lance dans les calculs sordides. Par changement de variable :
, d'où .

Sur , on a la minoration classique , donc et
.

Finalement : , ce qui prouve que l'intégrale tend vers 0 lorsque tend vers .

OUF !!!

[Bleyblue]

Salut

pour R assez grand. Donc l'intégrale tend bien vers 0, non ?

Ben j'en étais arrivé à la même conclusion avant de me rendre compte qu'il s'agissait d'âneries

Ok je regarde ton calcul God's Breath, merci une fois de plus

[invitea07f6506]

God's Breath : j'ai peut-être raté quelque chose, mais quel est l'intérêt des "calculs sordides" ? |exp(-aRsin(t))| est majoré par 1 si a>0, R>0 et 0<=t<=Pi... Cette majoration grossière donne que la valeur absolue de l'intégrale est majorée par Pi*R/(R^2-1), d'où la convergence vers 0 quand R tend vers l'infini, non ?

[invite57a1e779]

God's Breath : j'ai peut-être raté quelque chose, mais quel est l'intérêt des "calculs sordides" ? |exp(-aRsin(t))| est majoré par 1 si a>0, R>0 et 0<=t<=Pi... Cette majoration grossière donne que la valeur absolue de l'intégrale est majorée par Pi*R/(R^2-1), d'où la convergence vers 0 quand R tend vers l'infini, non ?

Effectivement cela ne sert à rien ici, la majoration est efficace quand les autres termes sont insuffisants pour montrer que la limite est nulle.

[invitebb921944]

N'est-il pas possible et plus rapide d'utiliser le lemme de Jordan ici ?