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Equa diff en séries entières



  1. #1
    jeanmi66

    Equa diff en séries entières


    ------

    Bonsoir à tous,

    J'ai une équa diff second degré de la forme (E) : avec et

    Il faut que je trouve l'unique solution développable en série entière en 0.

    Je trouve une solution mais quelqu'un pourrait-il me donner son avis.

    Je trouve : mais déjà ça colle pas avec et

    Si ça colle pas, je mettrai mon développement en fichier joint !

    Merci par avance

    -----
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

  2. #2
    MiMoiMolette

    Re : Equa diff en séries entières

    Salut,

    Ben déjà, si mes souvenirs sont bons, x dans l'expression du coefficient de la série, c'est assez chelou


    Comment l'as-tu fait ?







    Après, tu harmonises d'abord les puissances de x, puis les indices du bas (qui permettront d'avoir y(0) au moins) après avoir multiplié par les coefficients des y, y' et y''

    C'est ça ?
    Dernière modification par MiMoiMolette ; 30/03/2008 à 22h53.
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  3. #3
    jeanmi66

    Re : Equa diff en séries entières

    Voilà mon développement, juste les calculs j'ai enlevé les blabla de justification.

    Pourriez-vous jeter un oeil svp ?

    Merci
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  4. #4
    ericcc

    Re : Equa diff en séries entières

    Tu fais une erreur à la base : quand on multiplie une somme par x² ou par x, la puissance dans la somme change.
    Par exemple y'=a1+a2x+....+n*anxn-1
    donc xy'=a1x+a2x²+....+n*anxn

    Ensuite seulement tu pourras harmoniser les coefficients.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    jeanmi66

    Re : Equa diff en séries entières

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Tu fais une erreur à la base : quand on multiplie une somme par x² ou par x, la puissance dans la somme change.
    Par exemple y'=a1+a2x+....+n*anxn-1
    donc xy'=a1x+a2x²+....+n*anxn

    Ensuite seulement tu pourras harmoniser les coefficients.
    Heuuun non, je l'ai appliqué, pour le second terme avant le changement d'indice, j'ai bien écrit:

    donne

    J'ai fait évoluer la puissance de à .

    Je vois pas d'errreur là
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

  7. #6
    ericcc

    Re : Equa diff en séries entières

    Et le (1+x²) tu le traites comment ?

  8. #7
    jeanmi66

    Re : Equa diff en séries entières

    Ok, je vais plancher là-dessus, je le fais et je vous dit ce que je trouve, MERCI
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

  9. #8
    jeanmi66

    Re : Equa diff en séries entières

    Pfouuuuu, je coince vraiment alors que ça doit être super évident !!!

    Voilà mon nouveau développement joint... Pouriez-vous m'aider svp, que j'en termine de ce truc !
    Images attachées Images attachées  
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

  10. #9
    ericcc

    Re : Equa diff en séries entières

    Bon tu as trouvé, regarde bien la différence entre k²+3k+2 et k(k-1)+2(2k+1)

  11. #10
    ericcc

    Re : Equa diff en séries entières

    Une fois que tu auras trouvé le développement de ta série, je te suggère de mettre 1+x en facteur pour avoir la forme compacte.

  12. #11
    MiMoiMolette

    Re : Equa diff en séries entières

    Euh, nous pas être d'accord

    On a trouvé An=-1, pour n impair > 3 et An=0 pour n pair, c'est normal ?
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  13. #12
    MiMoiMolette

    Re : Equa diff en séries entières

    Bon, ok forcément quand on prend a0=0, ça cloche
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  14. #13
    jeanmi66

    Re : Equa diff en séries entières

    Dites moi si je me suis pas trompé là !? Dans mon meesage n°8, en haut du document joint, les 2 premirs termes représentent la distribution à la somme de qui devient alors la somme d'une addition. Je la sépare alors en deux sommes qui deviennent les deux premiers termes que je vies de citer.

    Mais après, quand je fais un changement d'indice, je m'aperçois que je n'ai pas besoin de changer l'indice du second terme, je ne le change donc que sur le premier. C'est pas là qu'est l'erreur ?
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

  15. #14
    MiMoiMolette

    Re : Equa diff en séries entières

    Non, ça c'est normal, puisqu'on multiplie par x² (d'ailleurs, c'est (1-x²) ou (1+x²) ?)

    Il y a un truc que je ne comprends pas trop, c'est le passage de la première à la deuxième ligne pour les deux membres tout à droite, dans cette PJ :
    Voilà mon nouveau développement joint.
    Après, je ne suis pas sûre, mais il y a ptet un couac quand vous passez les k dans les sommes... Vous ne pouvez pas regrouper le terme général de sommes dont les indices sont différents (n et k), mais puisqu'après vous faites le changement... Bref, ça fait bizarre !

    Je viens de refaire le calcul, je trouve (c'est la même chose que ce qu'on avait trouvé cet aprèm, l'erreur de signe en moins )
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  16. #15
    jeanmi66

    Re : Equa diff en séries entières

    En plus, ça collerait bien ce signe, tu le trouves comment ? (Au fait, tu peux me tutoyer, je m'estime pas vieux à 30 balais !!!)

    Pour confirmer, c'est bien (1+x²) devant la première somme

    Merci
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

  17. #16
    MiMoiMolette

    Re : Equa diff en séries entières

    Aucune idée, on sait jamais (pis, ça m'arrive, parfois, comme ça, et c'est plus du respect que "parler à un vieux" xD)

    J'ai écrit ça sur papier et c'est scanné, si ça T'intéresse, sinon je peux encore essayer de TE () guider vers la solution.

    La première étape est d'harmoniser les puissances de x de façon à n'avoir que des x^n dans les termes généraux des sommes. Il est préférable, pour éviter les erreurs, de garder les n. Ça ne pose pas de problème, car n est comme une variable locale.
    En gros, les n seront incrémentés de 2 lors du changement. n-2 devient n, n devient n+2, n-1 devient n+1, n>2 devient n>0 (c'est généralement celui-là qui pose problème).

    Ensuite, on harmonise l'indice de départ, comme tu l'as fait.

    Puis enfin on peut regrouper les termes généraux.

    On met en facteur x^n. Comme le tout est =0, quel que soit x, c'est ce qui est en facteur qui doit être nul.

    (et j'ai remarqué que dans chacun de tes calculs, tu oublies de mettre dans l'expression de )
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  18. #17
    God's Breath

    Re : Equa diff en séries entières

    Citation Envoyé par jeanmi66 Voir le message
    J'ai une équa diff second degré de la forme (E) : avec et

    Il faut que je trouve l'unique solution développable en série entière en 0.
    On y va.
    Si, sur , on a , alors :
    ,



    et est solution sur si, et seulement si, pour tout entier :
    , soit
    , ou encore puisque .
    On en déduit rapidement par récurrence que, pour tout :
    .

    Le rayon de convergence de la série entière obtenue est , et sa somme sr est :
    .

    Une habitude des formules de dérivation permettrait de voir directement que :
    , donc si, et seulement si, est constante ; une évaluation en montre que cette constante est nulle.
    On est ramené à , et un bon coup d'oeil montre que l'on a . Finalement est solution si et seulement si est constante, et une évaluation en montre que cette constante est 1.

    La solution de l'équation différentielle, pour les conditions initiales imposées est .

    Sans condition initiale, on ne peut évaluer les constantes d'intégration.
    Les solutions sont donc les , et étant deux réels quelconques.
    Dernière modification par God's Breath ; 31/03/2008 à 22h32.

  19. #18
    jeanmi66

    Re : Equa diff en séries entières

    HHHHHHHHHHAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAA !!!!

    Oui, évidemment, sur l'avant dernière ligne, j'oubli un moins !!! Quel c... !

    Ok, ce qui me donne :

    D'où la solution unique:
    Tu en pensez quoi ?
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

  20. #19
    MiMoiMolette

    Re : Equa diff en séries entières

    Coucou GB !

    , non ?

    Here is mine :

    http://foxbergerie.free.fr/PourToiPublic/mip.jpg

    Je HAIS tex ^^


    plutôt, nope ?
    Dernière modification par MiMoiMolette ; 31/03/2008 à 22h35.
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  21. #20
    jeanmi66

    Re : Equa diff en séries entières

    Ha , j'ai posté en même temps ! Youpi, j'y suis arrivé, merci à vous tous !!!
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

  22. #21
    God's Breath

    Re : Equa diff en séries entières

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Coucou GB !

    , non ?

    plutôt, nope ?
    Il faut que je change mes lunettes...

    On a donc
    .

    Le rayon de convergence de la série entière obtenue est , et sa somme sur est :
    .

    Un petit truc avec ces recherches de solution par série entière.
    On démontre seulement que sur , c'est en fait solution sur , mais on n'en fait rarement la vérification...

  23. #22
    MiMoiMolette

    Re : Equa diff en séries entières

    Ah oé, différencier les deux cas puissance paire/puissance impaire ! S'pas bête ça ! C'est même juste ! C'est même que euuuh je raconte des bêtises !

    mais on n'en fait rarement la vérification...
    Comment expliquer que le rayon de convergence ne détermine pas tout l'ensemble dans lequel la fonction est convergente ?
    - Je peux pas, j'ai cours
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    - Je suis le prof

  24. #23
    God's Breath

    Re : Equa diff en séries entières

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Comment expliquer que le rayon de convergence ne détermine pas tout l'ensemble dans lequel la fonction est convergente ?
    C'est une question de prolongement analytique : est nulle sur le disque de convergence de la série entière, donc nulle sur tout ouvert sur lequel elle est holomorphe.

  25. #24
    ericcc

    Re : Equa diff en séries entières

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Il faut que je change mes lunettes...

    On a donc
    .

    Le rayon de convergence de la série entière obtenue est , et sa somme sur est :
    .

    Un petit truc avec ces recherches de solution par série entière.
    On démontre seulement que sur , c'est en fait solution sur , mais on n'en fait rarement la vérification...
    Ah quand même !

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