problème de probas au dé

[invite78882fcc]

Bonjour,

Je lance n dés à dix faces (avec n>1)
Je cherche la probabilité d'obtenir exactement autant de "1" que de "10" en fonction de n.

Le dénombrement ne donne rien, les quelques lois que je connais non plus, au secours !!!

Merci d'avance
-----

[erff]

Bonjour,

Soit

On note P(k) le nombre de configurations ayant k "1" et k "10"



En tout nous avons configurations

Ainsi la proba recherchée est :




Sauf erreur...


EDIT : je n'ai pas considéré la situation 0 "1" et 0 "10"

EDIT2 : E(n/2) désigne la partie entiere de n/2

[invitec5eb4b89]

(...)
En tout nous avons configurations
(...)

Cela signifie que l'ordre dans lequel les chiffres apparaissent sur les dés est important ? Il me semblait pourtant que ça ne le serait pas ! Mais on dirait bien que ce point précis a déjà été passionnément discuté ici.

Bon courage,
V.

[Médiat]

Soit

On note P(k) le nombre de configurations ayant k "1" et k "10"

Personnellement je dirais :

Pour être clair

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite78882fcc]

Merci pour cette réponse aussi rapide que pertinente.

Je donne d'abord mon avis sur "l'ordre" des dés.
Non, effectivement l'ordre n'a pas d'importance, mais pour ce qui est du dénombrement des cas (ceux qui marchent divisés par le nombre total donne la proba) il faut bien les distinguer les uns des autres.
J'en veux pour simple exemple le lancer de deux dés à 10 faces (un bleu et un vert par exemple, ou un premier et un deuxième) :
On peut obtenir 1 et 10 ou 10 et 1. Ce qui fait 2 chances sur 100.

Revenons à nos moutons.

A mon avis (mais je pose la question), il manque un facteur dans la formule : celui de la "répartition" des 10 et des 1 entre eux (la combinaison de 2k parmi n donnant la répartition des 10 et des 1 parmi n).
J'ajouterai donc un xC(k/2k) (comprendre fois une combinaison de k parmi 2k).
Je prends l'exemple de 3 dés.
les 3 premiers cas de tirages sont :
10 1 9;2 (un chiffre de 2 à 9)
10 9;2 1
9;2 10 1
Mais je peux aussi "inverser" les 10 et les 1 :
1 10 9;2
1 9;2 10
9;2 1 10
Ce qui donne au total :
(2 3)*(1 2)*8 =
3 * 2 * 8 = 48 possibilités
Soit une proba de 0,048 !

En admettant que maintenant la formule soit parfaite, y a t-il un moyen de la simplifier (formule du binome) pour pouvoir étudier son maximum et sa limite ?

A suivre...

[Médiat]

J'ajouterai donc un xC(k/2k) (comprendre fois une combinaison de k parmi 2k).

Nos solutions sont identiques, mais dans la somme de erff, il me semble qu'il faut partir de k = 0.

[invite78882fcc]

Oula, entre temps Mediat a proposé péremptoirement une autre formule (que j'avoue ne pas comprendre). Je vais donc arbitrairement l'ignorer et préciser à partir de celle de Erff :

P(k) = (n 2k) (2k k) 8 ^n-2k

Est-ce que tout le monde est d'accord ?

PS : les cas où il n'y a pas de 10 et de 1 ne sont pas prévus, c'est normal.

PS2 : il faudrait que je trouve comment on écrit des formules ici...

[Médiat]

(que j'avoue ne pas comprendre).

C'est la même que la tienne .
La seule différence c'est que tu choisis 2k dés portant soit 1 soit 10 (et donc les autres), puis dans ces 2k dés tu choisis ceux qui porteront 1 (et donc ceux qui porteront 10) ; je trouve plus intuitif de choisir les k dés qui porteront 1, puis les k dés qui porteront 10 (et donc les autres).

[invite78882fcc]

Ok, je viens de comprendre ! Merci à Erff et Mediat !!!

Une simplification ?

[erff]

Bonjour,

Une simplification ?

Oui, je crois qu'on peut simplifier en utilisant :

et



On constate que la somme que je donne ne porte que sur les indices pairs donc en retranchant ou ajoutant ces 2 sommes (suivant la parité de n) on trouve ce qu'il faut (ne pas oublier que ma somme démarre à k=1 et pas 0)


EDIT : Oui j'ai accordé une importance à l'ordre des dés, mais je l'ai fait pour les cas possibles et les cas favorables, donc en faisant le rapport ça change rien

[invite78882fcc]

D'abord merci à Erff et Médiat pour leurs réponses qui m'ont fait bien avancé (et réfléchir).

Ensuite, j'espérais pouvoir en tirer une formule plus "simple" à étudier mais ça ne paraît pas être vraiment le cas (impossible d'appliquer les formules de simplification de Erff à cause du produit des deux combinaisons).

Mais cette première question sur le nombre identique de 10 et de 1 n'était qu'une partie d'une piste explorée pour un problème plus vaste.

Donc, je m'en vais poster le problème dans son entier (ainsi que ma piste) sur une autre discussion intitulée "problème aux dés à 10 faces".

A suivre...