sous-groupes distingués de Sn

[invite769a1844]

Bonsoir,

il y a quelques points que je ne comprends pas dans la correction de cet exercice:

Montrer que si est un sous-groupe normal non trivial de , , alors est un sous-groupe normal non trivial de .

Correction proposée:

Supposons . Soit un sous-groupe normal non trivial , .

L'intersection de sous-groupes normaux dans , , est un sous-groupe normal dans , donc normal dans .

Montrons la non-trivialité de ; d'abord : sinon et puisque et , nous aurions .

Nous avons : c'est évident si ; sinon puisque
et le théorème de Noether donne un isomorphisme et, pour , nous aurions ;
or il n'y a pas de sous-groupe normal de d'ordre 2 si .

Déjà je ne vois pas pourquoi si .
Merci pour votre aide.
-----

[invite57a1e779]

Déjà je ne vois pas pourquoi si

Puisque ,il existe élément de mais pas de .
Alors est disjoint de et de même cardinal que , c'est-à-dire .
Comme contient et , la conclusion est immédiate.

[invite769a1844]

je vois, merci God's Breath

Encore un point que je ne comprends pas:
Il est dit à la fin qu'il n'y a pas de sous-groupe normal de d'ordre 2 si .

Pourtant si je prends un sous-groupe engendré par une transposition, ce sous-groupe est bien normal de d'ordre 2, non?

[invite769a1844]

je vois, merci God's Breath

Encore un point que je ne comprends pas:
Il est dit à la fin qu'il n'y a pas de sous-groupe normal de d'ordre 2 si .

Pourtant si je prends un sous-groupe engendré par une transposition, ce sous-groupe est bien normal de d'ordre 2, non?

ah oui non je viens me rendre compte de mon erreur, c'est pas possible du fait que toutes transpositions sont conjuguées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Pourquoi si est un sous-groupe normal non trivial de , contenant strictement (le groupe de Klein),

on a un morphisme surjectif de groupes , avec ?

[invite769a1844]

Je crois que j'ai compris,

on a et distingués dans , et ,
en considérant les projections canoniques: et ,
il existe alors tel que le diagramme suivant commute:

.

est surjective, donc est surjective.

Après je ne vois pas pourquoi ?

[invite769a1844]

Finalement j'ai compris ça aussi

On a ,

or pour tout , , donc