Transport de structure a partir d'une application

[inviteed373d9c]

bonsoir, je suis tombé sur un exercice ou la correction m'a fait decouvrir une operation interessante (mais que je ne connais pas encore ) donc j'aimerais des confirmations.

je commence :

l'ensemble des matrices de la forme ; appartient aux Complexes
la matrice carré de dimension ² et dont tous les termes sont egaux a 1

- Demontrer que est un corps vis-a-vis des lois usuelles.

Dans la correction, on a consideré l'application :

On a ensuite demontré que :




on a ensuite deduit, par transport de structure, que est un corps isomorphe a .

quelqu'un pourrait me donner le cas general de ce theoreme?

merci d'avance
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[invitebe0cd90e]

Je ne sais pas si c'est ce que tu attends, mais en gros une idée générale en algèbre, assez naturelle quand on manipule des structures abstraites, est la suivante :

Si A est un ensemble possedant une certaine structure (algèbre, groupe, anneau, e.v. ...), B un autre ensemble, et f une bijection de A vers B, alors B peut etre "artificiellement" munie de la meme structure que A en la transportant par f.

Par exemple, si A est un groupe de loi , on définit une loi de groupe sur B par :

Si est le neutre de A, le neutre de B sera , l'inverse de x sera et ainsi de suite.

S'il se trouve que la loi ainsi definie coincide avec une loi prealablement definie sur B (ce qui est le cas dans ton exemple), alors cette loi definie sur B verifie automatiquement les bons axiomes...

En gros, dans ton cas, tu transporte une loi d'un coté, qui par definition verifie les axiomes, de l'autre tu cree une loi "explicite", puis tu montre que les deux sont égalesdonc les propriétés de l'une sont evidemment verifiées par l'autre. C'est aussi une strategie habituelle en algebre : construire deux objets ayant chacun "une moitié" des propriétés recherchée, puis montrer une equivalence entre les deux pour finir le boulot.

[inviteed373d9c]

oui c'est exactement ce que je recherche. j'y ai mis longtemps pour le comprendre mais pas a 100%. cependant j'ai pas reussi a l'appliquer pour le transport de la structure vectoriel de vers _n,p (l'ensemble des matrices a lignes et colonnes). si tu pouvais m'aider encore une fois ce serait bien.

merci