Equation d'enroulement.

[invitef082dd27]

Bonjour à tous et toutes.

J'ai besoin d'un petit coup de main pour résoudre un problème sur lequel je me suis déjà penché sans succès.

On enroule une courroie d'épaisseur e sur un tube de diamètre Dt.

Je souhaiterais obtenir l'équation de la distance maximum (rayon ?) entre la fibre neutre de la courroie du dernier tour et l'axe du tube d'enroulement en fonction de la longueur de courroie enroulée.

Je précise que la courroie s'enroule parfaitement sur elle même faisant de ce fait augmenter le diamètre recherché.

Si quelqu'un peut me mettre sur la voie ?

Merci.

PS : J'ai hésité entre les forums Physique et Mathématiques mais il me semble qu'il s'agit plutôt de Mathématiques.
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[invite897678a3]

Bonjour,

A toutes fins utiles, jetez un oeil sur cette discussion.

[invitef082dd27]

Merci pour votre réponse.

Effectivement je suis allé jeter un coup d'oeil mais je viens juste de trouver quelque chose de plus simple :

Je pars de l'hypothèse que la longueur enroulée est la somme de tous les périmètres. Je pense que l'approximation est assez bonne.

=> L = S( Pi . (D+n.e)) S(x) = somme de 1 à n

L = longueur de courroie enroulée
D = diamètre du tube d'enroulement
e = épaisseur de la courroie

On obtient :

=> L = S(Pi.D + Pi.n.e)
=> L = n.Pi.D + S(n.Pi.e)
=> L = n.Pi.D + ((n.(n+1))/2).Pi.e

=> ((Pi.e)/2).n²+(Pi.D+(Pi.e)/2).n-L = 0

En résolvant ce polynôme on obtient une équation donnant n en fonction de L.

Que pensez vous de ma démarche ? Est-ce juste ?

[invite897678a3]

Bonjour,

Je suis désolé du retard pris pour vous répondre

Je ne comprends pas vos calculs.

Ci-jointe un extrait d'une petite feuille de calcul XLS:
sauf erreur de ma part, ce qui n'est pas exclus, votre calcul
et mon calcul donnent des résultats notablements différents
(j'ai utilisé pour mes calculs un enrouleur de rayon = 5 cm,
et une sangle d'épaisseur 1 cm, avec 10 tours).

Puisque vous ne semblez pas désireux d'intégrer
- pourtant la circonférence est une expression de la forme a.b²,
augmentée à chaque tour d'un petit accroissemenr au carré,
et comme votre sangle a forcément une longueur finie, je pense que pour vous
la solution la plus simple est un petit calcul réalisé sous Excel(R):
vous effectuez la somme de chacune des circonférences de la sangle enroulée
et vous obtenez ainsi la longueur totale de la sangle:


avec C(n) = circonférence de la fibre neutre de la spire n


(le terme en est nécessaire puisque nous nous intéressons à la fibre neutre)

A suivre...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef082dd27]

Merci pour votre réponse.

Je n'ai rien contre l'intégration qui me donnerai une réponse plus juste mais je ne vois pas comment démarrer.

Désolé que vous ne compreniez pas mon calcul. C'est suremement du au fait que je ne sais pas inserer les caractères spéciaux comme la somme ou Pi.

Cependant je ne comprends pas moi de mon coté, pourquoi vous utilisez la somme du type Pi x R² alors que pour une circonférence je prendrait plutôt Pi x D. Je pense que cela explique pourquoi je ne trouve pas comme vous sur ma simulation Excel.

[invite897678a3]

Bonjour,

C'est seulement maintenant que je "remonte" dans les messages suivis, qui progressent très rapidement.

Houlàlà! La gaffe!
Bien entendu, je me suis conplètement "planté" : Pi . R² c'est n'importe quoi;
la surface ne nous est d'aucune utilité.
En toute logique, la bonne expression doit être:


avec
R = rayon tambour,
n = nombre de spires,
e = épaisseur de la courroie.

La vérification, ce sera pour demain.
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Si je tente d'utiliser "Latex", c'est pour lever toute ambiguïté.
En effet comment lisez vous ceci: (n . e - e/2 ) ?
Comme ceci : n . ( e - e/2 )
ou comme cela : ( n . e ) - e/2

[invite897678a3]

Bonjour,

Les erreurs de "jeunesse" étant corrigées, voici en P.J. ce que l'on obtient par la méthode graphique.
En ordonnées, il est très facile de remplacer les valeurs de rayon ( 5,5 - 6,5 - etc)
par le nombre de tours du tambour, si c'est cela que vous cherchez.

Il est à noter que pour le premier tour, la longueur de sangle enroulée est de 35 cm,
mais pour la dixième spire cette valeur est portée à 91 cm (avec rayon tambour de 5 cm et épaisseur sangle 1 cm).
D'où sans doute la difficulté de mettre facilement en équation votre suite.
Il s'agit en effet d'une fonction discontinue, en "marches d'escalier" (et sans contre-marches!)

Amicalement
Ouk

[invitef082dd27]

Merci pour vos réponses.

En effet je vais me contenter de ma simulation graphique excel et de l'équation que j'ai trouvé plus haut.

Encore merci.