Bonjour,
pour commencer un petit QCM:
Il faut justifier.
1. Il existe un corps à 6 éléments.
2. Il existe un corps à 125 éléments.
3. Siest un corps fini, il existe
tel que
.
4. Siest cyclique.
5. Le polynômea des racines simples dans toute extention de
.
6. Le polynômea des racines simples dans toute extention de
.
Pour le 1. je dirais faux car le cardinal d'un corps fini est forcément une puissance d'un nombre premier.
Donc pour le 2.je dirais vrai car
Salut.
Pour la 1 ok, pour la 2 pourquoi pas.
Pour la 3 démontre-le ou trouve un contre-exemple..
Pour le 3. je dirais que c'est plutôt isomorphe à une extension de.
Ok je vais chercher un contre exemple...
Pour le 4. je dirais faux parce que c'est le groupe multiplicatif qui est cyclique...
Pour le 4. je dirais faux parce que c'est le groupe multiplicatif qui est cyclique... >>> c'est en effet faux, mais ce que tu dit n'est pas une preuves, il faut donner un contre exemple.
Notes que les question 3 et 4 dise la meme chose : dire que (K,+) est cyclique, c'est pareil que dire que K est Z/nZ...
Quand je te dis "contre exemple", c'est en fait une mauvaise piste.
Suffit de voir que K isomorphe à Z/nZ donne par là-même card(K)=card(Z/nZ).
1. Faux : le cardinal d'un corps fini est une puissance d'un nombre premier, or 6 admet deux facteurs premiers distincts.Envoyé par pointfixe
Il faut justifier.
1. Il existe un corps à 6 éléments.
2. Il existe un corps à 125 éléments.
3. Si
4. Si
5. Le polynôme
6. Le polynôme
2. Vrai : l'ensemble des racines dedans une cloture algébrique de
.
3. Faux :de la question précédente est de caractéristique 5, et n'est pas isomorphe, par raison de cardinalité à
, le seul des
de caractéristique 5.
4. Faux : en reprenant
5. Faux : Dans toute extension de, n'admet que la racine 0, d'ordre 5.
5. Faux : Dans toute extension de, si
, alors
. Toute racine de
est racine de
, donc multiple.
Il n'y a pas que le 4 qui est faux
Ok donc si je prends le corps fini à 125 éléments par exemple, comme 125 n'est pas premier pas de risque qu'il soit isomorphe à Z/nZ...
7. Le polynôme
Si, il pourrait être isomorphe à Z/125Z, c'est le problème de caractérisque qui gêne...
Bien vu...6. Faux : Dans toute extension de
oui parce que Z/125Z n'est pas un corps...
Encore un QCM...
Soient. Les affirmations suivantes sont-elles vraies?
a) Il existe une extensionde
-----> Là je dirais simplement oui...
b)est un corps de décomposition de
.
---------> Pour là et la suivante je dirais si
c)
d) Mêmes questions sous l'hypothèse supplémentaire que
Quelle est la différence entre b et c ?Encore un QCM...
Soient
a) Il existe une extension
-----> Là je dirais simplement oui...
b)
---------> Pour là et la suivante je dirais si
c)
d) Mêmes questions sous l'hypothèse supplémentaire que
en fait pour c c'est n'est pas un corps de décomposition...
Bien évidemment la réponse est non puisque l'on ne peut pas affirmer queb)
c)
Il n'empêche que ne vois toujours pas de différence entre ces deux questions !!!
Et il m'étonne que l'on pose deux fois la même question !!!
Attention : K[X]/(P) n'est pas un corps de décomposition de P, mais un corps de rupture (si P est irréductible, enfin sauf si le polynôme est galoisien, mais ca ce complique un peu la...)
un corps de décomposition, c'est un corps sur lequel le polynome est scindé (et qui est engendré par les racines du polynomes...), un corps de rupture c'est un corps sur lequel le polynôme admet une racine (et qui est engendrer par les coefficient du polynôme et l'une de ces racines)
par exemple, Q[2^(1/3)] est un corps de rupture de x^3-2, mais ce n'est pas un corps de décomposition (le corps de décomposition étant Q[2^(1/3),j])
C'est bien pour cela que j'ai insisté sur les questions b et c identiques.
Je veux faire dire à "pointfixe" que, en fait, l'une demande si c'est un corps de décomposition, l'autre si c'est un corps de rupture, tout d'abord avec P quelconque, puis dans la question suivante, avec P irréductible.
Voilà l'erreur rectifiée... Donc avec l'hypothèse irréductible je ne peux pas dire que c'est un corps de décomposition mais cela peut en être un...Encore un QCM...
Soient
a) Il existe une extension
-----> Là je dirais simplement oui...
b)
---------> Pour là et la suivante je dirais si
c)
d) Mêmes questions sous l'hypothèse supplémentaire que
(re)^n bonjour,
Soitet
comment je peux faire pour montrer que ces polynômes sont irréductibles sur
?
En fait c'est nul il suffit de regarder avec les deux racines possibles...
En effet:donc pas de racines dans
simplement?
C'est insuffisant, les polynômes sont de dégré 4, donc pourraient avoir deux facteurs irréductibles du second degré, sans avoir pour autant de racines.En fait c'est nul il suffit de regarder avec les deux racines possibles...
En effet:
simplement?
De la même façon quen'a pas de racine dans
, mais n'est pas irréductible pour autant puisque
.
oui c'est vrai.. Bon je regarde ça demain. Mais j'imagine que je dois juste diviser par les polynômes possibles qui ne doivent pas être très nombreux...
En regardant si ils ont des racines, tu sais juste si ils ont ou non des facteurs de degré 1 : si P est de degré 2 ou 3 et qu'il ce factorise alors il à un facteur de degré 1, donc c'est suffisant de tester cela, mais ici ce n'est pas le cas.
ceci dit si P (de degré 4) ce factorise il à un facteur de degré 1 ou 2, il suffit donc de regarder si ton polynome P à ou non des racines dans le corps à 4 élements !
Petit coup de pouce : il n'y a pas tant de polynômes du second degré à coefficients dans, et
n'est pas irréductible.
Il suffit de voir finalement qu'il n'est pas divisible par...
mieux que cela, il suffit de voir que ce n'est pas le caré de (x^2+x+1) !
car si P de degré 4 est réductible, et sans zéros, alors tous ces facteurs iréductible sont de degré 2 et donc ce sout tous (x^2+x+1) d'ou P=(x^2+x+1)^2
