Double intégrale

[invite7e3dfa4f]

Bonjour à tous,

J'ai fait quelques calculs d'intégrales doubles, mais j'ai un peu de mal. Donc pouvez-vous me dire si mes résultats sont bons s'il vous plait ?

{{dxdy/(1+X²+y²) sur D qui est défini par x²+y²<= 1

Moi, j'ai trouvé -pi.

{{arctan(y/x)dxdy sur D défini par x²+y²>=1, x²+y²<=9, y>=x/(racine3), y<= (racine3)x
J'ai éffectué un changement en coordonnées polaires, et j'ai trouvé un résultat qui vaut 1/18pi².


{{dxdy/(x²+y²), sur D qui est le triangle de sommets O(0,0), A(a,a) et B(a,0)

pour cette intégrale, j'ai effectué un changement de variables:
x= (u+v)/2
y=(-u+v)/2 +a/racine2
Mais, je n'arrive pas à trouver le résultat car j'obtiens quelque chose de très compliqué.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?
Merci beaucoup d'avance
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[invitebe6c366e]

Pour la première, j'ai trouvé

[invite57a1e779]

Pour sur défini par : la fonction que tu intègres est positive, donc le résultat ne peut pas être . Le résultat fourni par Maquessime est effectivement la bonne valeur.
Un passage en polaires simplifie grandement l'intégrale.

Pour sur défini par , , avec un changement en coordonnées polaires, tu as trouvé ; tu as fait une erreur de calcul. Donne-nous les détails, on te corrigera.


Pour , sur qui est le triangle de sommets O(0,0), A(a,a) et B(a,0), là aussi un passage en polaires s'impose. Mais tu as un problème d'existence : la fonction que tu intègres n'est pas défini au sommet O du triangle...

[invite7e3dfa4f]

Pour la première intégrale {{dxdy/(1+x²+y²) , j'avais bien passé en corrdonnées polaires, voici mes calculs:

x=rcostheta, y=rsintheta
detJacb = rcos² theta + rsin² theta= r

{{dxdy/ (1+x²+y²) = {{ r/ (1+ r²) drdtheta

r va de 0 à 1 et theta de o à 2pi puisqu'au départ j'ai un cercle de centre (0,0) et de rayon 1 ( car x²+y²<=1)

Est ce que mes bornes sont bonnes ???

Pour la seconde, voici mes calculs :

x=rcos theta, y=rsintheta
det Jacobienne = r

{{ arctan (y/x) dxdy = {{ arctan (rsintheta / rcostheta) *r drdtheta =
{{ arctan (tan theta) dr dtheta
avec r qui va de 1 à 3 et theta de 0 à pi/6
{r ( {arctan tan theta dtheta ) dr = { r [theta²/2] dr = { r (pi²/72) dr = (pi²/72) [r²/2] = (pi²/72)*(9/2 - 1/2)= (pi²/72)*4 = pi²/18

J'espère que vous arriverez à me comprendre et ke vous pourrez m'aider. En tout cas, je vous remercie beaucoup d'avance pour votre aide.

J'essaie de faire la dernière

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Pour la première intégrale {{dxdy/(1+x2+y2) , j'avais bien passé en corrdonnées polaires, voici mes calculs:

{{dxdy/ (1+x2+y2) = {{ r/ (1+ r2) drdtheta

r va de 0 à 1 et theta de o à 2pi puisqu'au départ j'ai un cercle de centre (0,0) et de rayon 1 ( car x2+y2<=1)

Est ce que mes bornes sont bonnes ???

Oui, tu ne dois donc pas trouver

Pour la seconde, voici mes calculs :


{{ arctan (y/x) dxdy = {{ arctan (rsintheta / rcostheta) *r drdtheta =
{{ arctan (tan theta) dr dtheta
avec r qui va de 1 à 3 et theta de 0 à pi/6

Fais un dessin l'encadrement ne correspond pas à .

[invite7e3dfa4f]

J'ai trouvé mon erreur pour la première intégrale et je trouve bien piln(2), je m'étais trompée dans mes intégrales.

Pour la deuxième, je trouve pi² / 24. theta va de pi/6 jusque 2pi/6

Par contre, oiur la dernière, je n'arrive pas à passer en coordonnées polaires , je ne trouve pas mes bornes. r va de 0 à a , par contre theta je ne vois pas trop. J'assimile mon triangle à un cercle, et donc je pense que theta varie de 0 à pi/4.

[invite7e3dfa4f]

Si, mes bornes seraient exactes, je trouve alors a ln (pi/4).

[invite57a1e779]

Pour la deuxième intégrale, tes bornes sont désormais exactes, mais dans ton calcul

{{ arctan (y/x) dxdy = {{ arctan (rsintheta / rcostheta) *r drdtheta =
{{ arctan (tan theta) dr dtheta

il y a un facteur qui disparaît lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde.

Pour ton triangle : le domaine d'intégration est défini par et .
La deuxième condition te donne bien , et la première fournit .

[invitebe6c366e]

Bonjour, pour le triangle, n'aurait-on pas plutôt ?

Mais, on arrive tout de même à un problème après...

[invite57a1e779]

Bonjour, pour le triangle, n'aurait-on pas plutôt ?

L'inégalité exclut du domaine le disque de centre et de rayon , c'est incompatible avec le triangle .

Sur la première figure, le point a un angle polaire appartenant à , et un rayon-vecteur compris entre ( proche de ) et ( proche de ).

La deuxième figure représente le domaine proposé par Maquessime

[invitebe6c366e]

Vous avez complètement raison, désolé pour la mauvaise info !