Dérivées partielles et Laplace

[inviteb4d8c3b4]

Salut à tous,

voilà j'ai une équation d'origine comme ceci : avec c une constante. x est une variable représentant une abscisse, variant de 0 à 1. t est la variable temps qui démarre à 0. u(x;t) exprime un déplacement à l'instant t d'un point d'abscisse x. Il s'agit de la "vibration" des points d'une poutre s'encastrant dans un mur.

On me donne juste:




On me dit aussi qu'il faut admettre que la transfo de Laplace par rapport à t de la fonction est , et par conséquant que la transfo de Laplace par rapport à t de la fonction est .

LA QUESTION EST:
en appliquant la transfo de lalace par rapport à t aux deux membre de l'équation d'origine, montrer que quel que soit p fixé, la fonction U(x;p) vérifie une équation différentielle ordinaire par rapport à la variable x.

Je patauge depuis plus d'une heure dessus, pourriez-vous m'aider svp ?

Merci
-----

[invite57a1e779]

Si tu notes l'application partielle en .
Ta transformée de Laplace en est donnée par :
, et la transformée de Laplace de est l'application partielle en de la transformée de Laplace de .

Le résultat que l'on te fournit sur la transformée de Laplace de comme étant n'est autre que l'utilisation admise de la dérivation sous l'intégrale définissant la transformée de Laplace.

Si tu réécris les dérivées successives et sous la forme et , tu vois que leurs transformées respectives sont respectivement et .

Donc la tranformée de Laplace de est .

[inviteb4d8c3b4]

C'est pas vrai !!!! J'avais gratté ça sur mon brouillon et je l'avais laissé tomber, je me disais que c'était trop... "simple" !?!?

Mais en fait, mon vrai soucis n'étais pas cela mais le fait qu'il faille préciser et !?

J'ai pensé à "simplement" sortir de l'équa diff : mais ça ne m'amène à rien... je vois pas le chemin à arpenter

[invite57a1e779]

Mais en fait, mon vrai soucis n'étais pas cela mais le fait qu'il faille préciser et !?

Je ne vois pas où tu as besoin de préciser ces valeurs.

J'ai pensé à "simplement" sortir de l'équa diff : mais ça ne m'amène à rien... je vois pas le chemin à arpenter

Ton équation initiale est .

La transformée de Laplace du second membre est .

La transformée de Laplace du premier membre est , mais tu disposes de la condition initiales , donc cette transformée de Laplace est simplement .

L'équation transformée est donc .

C'est donc, pour la fonction inconnue , une équation différentielle du type dans laquelle est en fait une constante. Il faut bien se rendre compte que la variable est ici .

Et là je suis pris d'un doute soudain : la condition est-elle vraiment celle que tu donne ?
Ne serait-ce pas plutôt , qui simplifierait l'équation précédente en , qui est beaucoup plus sympathique ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb4d8c3b4]

Et là je suis pris d'un doute soudain : la condition est-elle vraiment celle que tu donne ?
Ne serait-ce pas plutôt , qui simplifierait l'équation précédente en , qui est beaucoup plus sympathique ?

Pfffff, quel abr... je suis ! Effectivement, c'est bien , je suis pas assez rigoureux, même dans mes lectures !

Ok, je saurais finir. Je te remercie encore...