probabilité et changement de variable

[invite76543456789]

Dlzlogic... ou l'histoire d'un valeureux guerrier parti en croisade contre un theoreme dont il n'a meme pas le debut d'un commencement de comprehension, armé de son niveau CM1 en mathématiques, de beaucoup trop de temps libre sur les bras, d'une mauvaise foi a toute épreuve, d'une determination a polluer absolument tous les topics où le mot probabilité apparait, d'une capacité d'incompréhension peu commune, d'un manuel de probablité vieux de 50 ans ecrit par un physicien, et du dégainage de MP le plus rapide de l'ouest... va t il reussir la où les bogdanovs ont echoué?
Vous le saurez en regardant, Dlzlogic, un type qui fait respecter la loi.... normale.
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[gg0]

MissPacMan :

[Dlzlogic]

Bonjour MissPacman,
Je suppose que vous n'avez pas encore eu le temps de lire le livre que j'ai cité, alors je crois qu'il vaudrait mieux commencer par là. Il est certain que cette introduction à propos du paradoxe de Bertrand m'a plu dès le début, puisque j'avais fait une simulation qui montrait qu'il n'y avait pas d'ambiguïté dans l'énoncé du problème.

Concernant, le problème évoqué dans ce sujet, j'ai posé 2 ou 3 questions, pourquoi n'y avez-vous pas répondu, puisque vous connaissez la solution.

Ce fameux TCL part l'un postulat, le postulat de la moyenne. Gauss l'appelle axiome. Cependant, l'ensemble de la théorie étant établi, on démontre que ce postulat est justifié. Je dis "on", parce que j'avoue que cette démonstration me dépasse un peu.
Quoi qu'il en soit, relisez le et vous verrez facilement que "tirage aléatoire" implique "loi normale". Mais si vous pouvez pouvez le contraire (par d'autres arguments que "moi, je sais") je pense que ça pourra intéresser des gens.

Il est vrai que nous avons eu quelques échanges de MP, j'utilise ce moyen prévu par le forum pour éviter de polluer des sujets. Et il est certain que si j'ai quelque-chose à dire à quelqu'un à qui ça ne fera pas plaisir, je préfère le faire par MP, conformément à la charte.

Toutes vos argumentations sont intéressantes, mais pas des réflexions comme vous venez de les faire.

[invite76543456789]

Ecoutez je veux bien ouvrir un fil ou je tente de vous expliquer tout ca tranquilement. En fait le probleme c'est que vous ne comprenez pas ce que signifie "suivre une loi" pour une variable alétoire. Je vais essayer de mettre ca au clair dans un nouveau fil, on a deja trop pollué celui la.

[Dlzlogic]

Ecoutez je veux bien ouvrir un fil ou je tente de vous expliquer tout ca tranquilement. En fait le probleme c'est que vous ne comprenez pas ce que signifie "suivre une loi" pour une variable alétoire. Je vais essayer de mettre ca au clair dans un nouveau fil, on a deja trop pollué celui la.

D'accord, et en parallèle je vous fais un MP pour l'histoire de la voiture.

[leon1789]

Je t'ai montré par une simulation qu'il n'y avait pas d'ambiguïté. Tu n'as pas cherché à comprendre, et je me souvient bien d'une de tes moqueries habituelles "tu lances le cerceau parderrière" ou un truc comme ça.

Visiblement, tu ne comprends pas ce que tu fais.
D'une, ton programme (que tu n'as pas su expliquer autrement qu'en donnant le code !) ne calculait ce qu'il fallait : le point H est grossièrement faux (relis le sujet, tu verras).
De deux, ta simulation montre que tu as fait intuitivement le choix d'une méthode pour construire les objets. Même si ce choix te paraît naturel, il n'a rien d'unique. Une autre méthode de construction aboutira à une autre résultat. C'est ça le coeur du paradoxe... Alors ta simulation ne prouve rien de rien !

John Hartong a expliqué cela en tout début de son livre "Probabilités et Statistiques".
Donc si même M. Hartong n'a pas compris, c'est que ça doit être drôlement difficile. Tu devrais lui expliquer, demande à Sy. je crois qu'il a la liste de ses bouquins.

Comme ton habitude est de déformer les écrits des autres personnes, je mets clairement en doute ta compréhension de ce que John Hartong a exposé.
Au lieu de donner des noms, présente clairement des définitions et des théorèmes. Ensuite, ça ira mieux.

Tu sais, le TCL ne prouve rien bien qu'on appelle ça un théorème.

Un théorème raconte quelque chose qui a été prouvée, merci de me le faire remarquer, je ne le savais pas.
Mais encore une fois, il ne faut pas détourner son énoncé, et c'est pourtant ce que tu fais depuis des années, malgré le nombre considérable de personnes qui t'ont alerté.

[leon1789]

Ce fameux TCL part l'un postulat, le postulat de la moyenne. Gauss l'appelle axiome. Cependant, l'ensemble de la théorie étant établi, on démontre que ce postulat est justifié. Je dis "on", parce que j'avoue que cette démonstration me dépasse un peu.

Remarquer que Gauss n'a pas établi le TCL... C'est Laplace (son concurrent sur le sujet) qui a poursuivi les travaux de De Moivre sur la loi binomiale.

Quoi qu'il en soit, relisez le et vous verrez facilement que "tirage aléatoire" implique "loi normale". Mais si vous pouvez pouvez le contraire (par d'autres arguments que "moi, je sais") je pense que ça pourra intéresser des gens.

Tout lycéen sait que ce que tu annonces est complètement faux. Les premiers enseignements de probas consistent justement à expliquer ce qu'il se cache mathématiquement dernière le mot "aléatoire". Désolé de te dire qu'il a un certain nombre de nuance que quelqu'un de naïf ne peut comprendre sans un minimum d'effort.
Ah, mais j'ai oublié de raconter ton hostilité face à l'éducation nationale (genre : les maths qu'on y enseigne n'ont pas de réalité http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post4419465)

Il est vrai que nous avons eu quelques échanges de MP, j'utilise ce moyen prévu par le forum pour éviter de polluer des sujets. Et il est certain que si j'ai quelque-chose à dire à quelqu'un à qui ça ne fera pas plaisir, je préfère le faire par MP, conformément à la charte.

C'est surtout un moyen pratique pour capter l'attention des jeunes avec quelques calomnies bien placées sur les matheux http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post4412011

[Dlzlogic]

@Léon,
Les insultes systématiques, sans aucun argumentaire, c'est pas ça qui peut faire avancer les choses.
Si le point H est grossièrement faux, explique pourquoi.
Il peut certainement m'arriver de mal comprendre les écrits d'autres personnes, quant à les déformer volontairement, certainement pas.
Concernant le TCL, j'ai demandé à doraki une démonstration. Je sais bien que c'est pas possible, puisqu'il est basé sur le "postulat de la moyenne" que le TCL appelle pudiquement, "moyenne empirique". Une méthode empirique, je sais ce que c'est, mais une moyenne avec le même qualificatif, je sais pas ce que c'est. Je me suis longtemps posé la question, je suppose qu'il s'agit d'une traduction un peu hasardeuse du terme anglais. Mais ce n'est qu'une supposition de ma part.
Mais là il me semble qu'on recommence un dialogue de sourds que tu affectionnes particulièrement.
Pour conclure, si tu veux m'insulter, au moins que ce soit par MP.

[leon1789]

Les insultes systématiques, sans aucun argumentaire, c'est pas ça qui peut faire avancer les choses.

je n'argumente pas ?? avec des références précises que je laisse au fil des lignes...
Si tu contestes mes références, soit précis.

Si le point H est grossièrement faux, explique pourquoi.

Je t'ai déjà donné un lien sur le sujet (à 11h55, message n°29)... Mais je te le redonne : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post4348929 Je t'y signale un exemple très simple qui montre que ton point H n'est pas correct.

Concernant le TCL, j'ai demandé à doraki une démonstration. Je sais bien que c'est pas possible, puisqu'il est basé sur le "postulat de la moyenne" que le TCL appelle pudiquement, "moyenne empirique".

heu, je ne comprends pas : le TCL n'est pas démontrable ?

Mais là il me semble qu'on recommence un dialogue de sourds que tu affectionnes particulièrement.

Je veux bien jouer le rôle du sourd si tu joues le rôle du muet. Chiche ?

[leon1789]

Tiens, un scoop que je t'ai jamais dit (je crois).

Si toutes les variables aléatoires suivaient une loi normale, alors le TCL ne serait d'aucun intérêt, car il se serait une version affaiblie d'un résultat classique (établi par Gauss dans le document que j'ai mis en ligne) : le théorème ici -> http://forums.futura-sciences.com/ma...ement-sic.html

J'espère que cela ne te perturbe pas trop...

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Malgré les interventions trollesques de certains membres, je voudrais revenir sur le sujet de ce topic.
Pour éviter tout malentendu, je précise l'énoncé.
Il y a un présentateur, ou professeur et un candidat, ou élève.
Il y a 3 enveloppes dont l'une contient de l'argent, ou trois portes dont l'une cache une voiture.
Le candidat choisit une enveloppe, resp. une porte.
Le présentateur resp ... ouvre une enveloppe qu'il sait être vide, et l'ouvre.
Question : voyant cela, le candidat a-t-il ou non raison de changer de choix d'enveloppe ?

La réponse habituelle est : oui, il a raison de changer.

1- chacune des enveloppes contient, soit de l'argent soit rien.
2- Au moment de se décider, le candidat a devant lui 2 enveloppes, celle qu'il a choisi et l'autre.
3- Comme les enveloppes sont fermées, aucun moyen ne permet de les distinguer.
4- Le candidat aurait pu se dire "je choisi cette enveloppe, mais c'est celle que je n'ouvrirai pas". En effet, le choix est binaire.

Il n'y a donc aucune raison de changer ou de ne pas changer.

Autre approche :
Un observateur extérieur, qui connait le principe du jeu, sait que le candidat a une chance sur deux d'ouvrir la bonne enveloppe. Il ne regarde pas ce qui se passe, mais il est sûr qu'un candidat sur deux sortira de la pièce avec l'argent.

En conclusion, le candidat n'a aucune raison particulière de change son premier choix.

L'argument souvent avancé est qu'il y a une chance sur trois que l'enveloppe qu'il a choisi contienne l'argent, s'il n'en reste qu'une autre, celle-là aura le complément à un, soit deux chances sur trois. C'est ce qu'on appelle habituellement un attrape-nigaud.

[leon1789]

Le nigaud est celui qui pense (ou écrit) que la conclusion correcte est "le candidat n'a aucune raison particulière de changer son premier choix", sachant que la réponse habituelle est "oui, il a raison de changer".

Tu parles d''interventions trollesques de certains membres : franchement, tu le fais exprès, non ?... que cherches-tu exactement ? A écrire le maximum d'âneries avant que la modération revienne de vacances ?

[invite76543456789]

Bonsoir,
Malgré les interventions trollesques de certains membres, je voudrais revenir sur le sujet de ce topic.
Pour éviter tout malentendu, je précise l'énoncé.
Il y a un présentateur, ou professeur et un candidat, ou élève.
Il y a 3 enveloppes dont l'une contient de l'argent, ou trois portes dont l'une cache une voiture.
Le candidat choisit une enveloppe, resp. une porte.
Le présentateur resp ... ouvre une enveloppe qu'il sait être vide, et l'ouvre.
Question : voyant cela, le candidat a-t-il ou non raison de changer de choix d'enveloppe ?

La réponse habituelle est : oui, il a raison de changer.

1- chacune des enveloppes contient, soit de l'argent soit rien.
2- Au moment de se décider, le candidat a devant lui 2 enveloppes, celle qu'il a choisi et l'autre.
3- Comme les enveloppes sont fermées, aucun moyen ne permet de les distinguer.
4- Le candidat aurait pu se dire "je choisi cette enveloppe, mais c'est celle que je n'ouvrirai pas". En effet, le choix est binaire.

Il n'y a donc aucune raison de changer ou de ne pas changer.

Autre approche :
Un observateur extérieur, qui connait le principe du jeu, sait que le candidat a une chance sur deux d'ouvrir la bonne enveloppe. Il ne regarde pas ce qui se passe, mais il est sûr qu'un candidat sur deux sortira de la pièce avec l'argent.

En conclusion, le candidat n'a aucune raison particulière de change son premier choix.

L'argument souvent avancé est qu'il y a une chance sur trois que l'enveloppe qu'il a choisi contienne l'argent, s'il n'en reste qu'une autre, celle-là aura le complément à un, soit deux chances sur trois. C'est ce qu'on appelle habituellement un attrape-nigaud.

Et bien puisque vous etes si sur de vous voila ce que je vous propose.
Nous allons jouer vous et moi au jeu, disons 1000 fois de suite.
A chaque fois je vous laisse le choix de l'enveloppe a choisir, une personne révèle une enveloppe vide, puis a chaque fois vous gardez votre choix, et moi je choisis l'enveloppe restante. Si vous trouvez la voiture, vous gagnez 10 points, si je la trouve j'en gagne 9.

A la fin on fait le total de vos points, disons D, et le total de mes points, disons M. Celui qui a le moins de point s'engage a ne pas poster sur le forum pendant |M-D| jours.

Un petit programme informatique peut tres facilement implementer la chose, pour que nous ne fassions pas les 1000 jeux a la main.

A priori vous etes sacrement favorisés, puisque vous gagnez 10 points alors que j'en gagne seulement 9 en cas de reussité.
Partant?

[leon1789]

MissPacMan,
ton jeu est une proposition honnête, mais, bien que tu aies pris des précautions (10 points vs 9), je trouve qu'il n'est pas à l'avantage de Dlzillogic. Je m'explique.

Chacun pense que sa stratégie est bonne :

-1- pour toi, on doit changer d'enveloppe avec une proba de gain de p=2/3 (ce p=2/3, c'est ce que tu penses).
On fait 1000 tests, donc on va tomber dans un intervalle de fluctuation à 95 % qui est [638, 696] succès, ce qui donnera
un score M-D = 9*succès-10*échecs compris entre 2122 et 3224, qui est en ta faveur, donc tu es partante pour le jeu, sans risque.

-2- Dlzillogic, lui, ne change pas d'enveloppe avec une proba de gain de p=1/2 (ce p=1/2, c'est ce qu'il pense).
On fait 1000 tests, donc on va tomber dans un intervalle de fluctuation à 95 % qui est [469, 530] succès, ce qui donnera
un score D-M = 10*succès-9*échecs compris entre -89 et 1070, qui est en sa faveur mais avec une fin pas toujours positive... donc avec un risque !
C'est pourquoi on peut penser qu' il ne sera peut-être pas partant car il y a un manque d'équité.

MissPacMan, je propose qu'on diminue ton gain à 7 points (ah oui, les temps sont durs !) : ainsi,
pour toi, M-D fluctuerait entre 846 et 1832 ;
pour lui, D-M fluctuerait entre 973 et 2010.
avec un niveau de confiance à 95%, tout cela est très équitable.

10 points contre 7, c'est ok ?

[Dlzlogic]

Bonjour,
Oui, je vais le faire.
Mais il y a un bout de temps, quelqu'un a fait un simulation de ce genre. Il s'est proposé à la faire, puisque de toute façon, on ne m'aurait pas cru. Et oh surprise, il a constaté avec étonnement que les essais confirmaient ce que j'essayais vainement d'expliquer. Puis, ça a mal tourné, un membre a dit, "mais non, rand est faux, il faut prendre genrand". Puis, ça a vite dégénéré.
Mais pas d'accord pour la conclusion, vous avez peut-être des choses à dire de temps en temps.

Si vous croisez Léon, vous pouvez lui dire que John Hartong a pris comme exemple de faire un trou dans le plafond, tracer un rond à la craie sur le sol, et par le trou jeter des fétus de paille, chaque fétu étant supposé prolongé par une droite. Il a ajouté qu'on pouvait prévoir un ventilateur pour assurer la dispersion.
Moi, j'aime plutôt travailler dehors et j'avais imaginé un trait droit sur le sol, mais aussi à la craie. Par contre je lançais un cerceau qui, intersectant la droite, formait le segment aléatoire recherché. Naturellement je répétais l'opération plusieurs fois et mesurais soigneusement et comptabilisais les résultats.

[leon1789]

Oui, je vais le faire.
Mais il y a un bout de temps, quelqu'un a fait un simulation de ce genre. Il s'est proposé à la faire, puisque de toute façon, on ne m'aurait pas cru. Et oh surprise, il a constaté avec étonnement que les essais confirmaient ce que j'essayais vainement d'expliquer. Puis, ça a mal tourné, un membre a dit, "mais non, rand est faux, il faut prendre genrand". Puis, ça a vite dégénéré.

Il conviendrait que le programme soit public (il faut quand même être convaincu qu'il est réalisé correctement) et que chacun puisse l'exécuter lui-même (les fonctions générateurs créant des nombres pseudo-aléatoires permettent la reproduction des expériences). Ainsi, je crois qu'il ne peut pas y avoir de contestation.

[invite76543456789]

Le mieux serait qu'une tierce personne le tape ce programme (il va etre court).
Sinon je taperai un ptit truc un java cette apres midi.

PS: a vrai dire j'espere presque perdre, ca me ferait beaucoup moins procrastiner de ne plus avoir le droit de poster ici.

[invite76543456789]

Sinon, on peut aussi utiliser des programmes deja tout fait, comme celui la
Celui ci par exemple
On voit pas le code, mais comme on peut faire tourner a la main, a priori on peut verifier que le programme fait bien ce qu'on veut.

[leon1789]

ton jeu est une proposition honnête, mais, bien que tu aies pris des précautions (10 points vs 9), je trouve qu'il n'est pas à l'avantage de Dlzillogic. Je m'explique.

Je ne sais pas si j'ai été assez clair : j'en remets une petite couche.

Quand on participe à des jeux, estimer son espérance de gain ne suffit pas pour prendre de bonnes décisions (je pourrais donner des exemples de jeux où maximiser l'espérance de gain conduit à la ruine...).
Ce qu'il est raisonnable de faire, c'est de prendre en compte un intervalle de fluctuation du gain (avec un seuil de confiance de 95% ou 70% ou 99%... en fonction du risque que l'on s'accorde).
L'intervalle de fluctuation est une bonne notion de ce qu'il se passera.

Du coup, je me mets dans la peau de Dlzillogic (donc p=1/2 ) et je calcule l'intervalle de fluctuation (à 95%) du gain D-M avec les constantes +10 points pour la bonne enveloppe et -9 pour la mauvaise enveloppe.
On arrive alors à l'intervalle [-89 , 1070] (utiliser la loi binomiale avec n=1000 et p=1/2)
Comme il apparaît des scores négatifs (ie perte du pari), je ne me lancerais pas dans ce pari.

C'est pourquoi je propose de changer le -9 et -7 points.
On arrive alors à l'intervalle [973, 2010] qui est sécurisant (car très positif).




Autre possibilité d'analyse : calculer le pourcentage de chance de gagner le pari, toujours dans la peau de Dlzillogic, et avec les constantes +10 points pour la bonne enveloppe et -9 pour la mauvaise enveloppe.
Pour être le gagnant du pari, il faudra trouver a minima 474 fois la bonne enveloppe.
Le pourcentage de trouver au moins 474 fois la bonne enveloppe est environ 95.3 % (loi binomiale avec n=1000 et p=1/2)
On peut penser que 95.3 % est un pourcentage suffisamment élevé pour relever le défi. Mais moi, je trouve cela trop peu ! (oui, je suis très peureux...)

Si on change de -9 à -7 points. Alors pour être le gagnant du pari, il faudra trouver a minima 412 fois la bonne enveloppe.
Le pourcentage de trouver au moins 412 fois la bonne enveloppe est environ 99.999999% (loi binomiale avec n=1000 et p=1/2)
Avec 99.999999%, là je suis très rassuré !



Evidemment, les analyses que je donne supposent que la stratégie de Dlzlogic bonne...
Si on se met dans la peau de MissPacMan, il faut faire les calculs avec p=2/3 et avec les constantes +7 points pour la bonne enveloppe et -10 pour la mauvaise enveloppe.
Dans ce cas, l'intervalle de fluctuation à 95 % du score D-M est [846, 1832], ce qui est sécurisant (car très positif).
Et le pourcentage de gagner le pari (avec au minimum 589 bonnes réponses) est environ 99.99999 % , très rassurant aussi.


Bref, avec les constantes 10 points vs 7 points, je trouve qu'il n'y aura pas photo sur celui qui a la bonne stratégie !!

[invite76543456789]

Ca ne me derange pas de descendre a 7 pour moi. Apres Dlzlogic a accepté le pari a 9.
Mais cela va influer sur le nombre de jours pendant lesquels le perdant sera absent.
C'est comme il veut.

[Dlzlogic]

Je ne joue plus pour 2 raisons.
J'avais bien précisé qu'il s'agissait de math et pas de jeu. Qu'on commence pas donner un exemple de VRAI tirage de 100 dés, surtout quand on explique les choses. La seconde c'est que Léon est intervenu, donc, je sors.

[invite76543456789]

Ok, vous vous débinez. Pas tres etonnant.

[invite179e6258]

en R :

# a contient le numero de l'enveloppe qui contient l'argent
# (il y a 1000 répétitions)
a<-sample(3,1000,replace=T)

# b contient les 1000 choix du joueur
b<-sample(3,1000,replace=T)

# c contient le numero de l'enveloppe qu'on montre vide au joueur
# qui n'est ni a ni b
c<-rep(NA,1000)
c[a==b]<-(a[a==b]+1)%%3
c[a!=b]<-(2*a[a!=b]+2*b[a!=b])%%3

# d contient le nouveau choix du joueur (ni b ni c)
d<-(2*b+2*c)%%3

# gain total si pas changer de choix
print(sum(a==b))

# gain total si changer de choix
print(sum(a==d))

[Dlzlogic]

Ok, vous vous débinez. Pas tres etonnant.

Je pensais qu'on devait rester correct.
Voila le petit code que j'avais écrit lorsque j'avais lu ce "paradoxe des 3 enveloppes". Mais avant de le montrer je comptais faire valider par vous ET Léon l'algorithme. Désolé, je suis trop lent.

int main()
{
/*
Paradoxe des 3 enveloppes
http://www.proba.jussieu.fr/cours/bertoin.pdf
*/
  randomize();
//  #define MAXI 100
  int gagne1=0;
  int EB;  // envelope bonne 0,1,2
  int Choix;  // choisi par le joueur
  for (int i=0; i<MAXI; i++)
  {
    EB=random(3);  // donc de 0 à 2
    Choix=random(3);  // donc de 0 à 2
    if (Choix == EB) gagne1++;
  }
// le joueur change
  int gagne2=0 ;
  for (int i=0; i<MAXI; i++)
  {
    EB=random(3);  // donc de 0 à 2
    Choix=random(3);  // donc de 0 à 2
    if (Choix == EB)
    { // Sûr, il a pas gagné, puisqu'il change
    }
    else
    {
      EB=random(2);
      Choix = random(2);
      if (Choix == EB) gagne2++;
    }
  }
  printf("gagne1=%d  gagne2=%d \n",gagne1,gagne2);
  getch();
  return 0;
}

[leon1789]

en R :

Est-ce que R est un langage qui convient à tous ?

(pour ma part, je n'ai rien compris au programme, je ne connais pas R, mais je ne suis pas nécessaire)

[leon1789]

La seconde c'est que Léon est intervenu, donc, je sors.

MDR.
Je redresse la situation pour lui en demandant à baisser de 9 points à 7 pour les gains de MissPacMan (et je pense réellement que c'est bien mieux ainsi, pour les raisons que j'ai données), et voilà comment il me remercie, c'te lâche

[leon1789]

    else
    {
      EB=random(2);
      Choix = random(2);
      if (Choix == EB) gagne2++;
    }

ha, problème... ce bout de code ne correspond pas à la situation (il n'y a pas de random à faire une fois que l'on connait l'enveloppe ouverte par l'animateur) : il faut s'y prendre autrement.




Pour inspirer, voici mon code (Maple) qui renvoie 7 si MissPacMan trouve la bonne enveloppe, -10 si elle se trompe.

un_essai := 
proc() local n,a,b,c ;

E := rand(1..3)() ; # Cela désigne la position de l'enveloppe : 1 , 2 ou 3.
j := rand(1..3)() ; # Cela désigne le premier choix du joueur : on pourrait prendre tout le temps 1, mais je préfère de l'aléa.
a := ({1,2,3} minus {j,E})[1] ; # Cela désigne l'enveloppe ouverte par l'animateur du jeu (a n'est ni j, ni E)
c := ({1,2,3} minus {j,a})[1] ; # Cela désigne le choix final du joueur qui change d'enveloppe (c n'est ni j, ni a)

if j=E then return(-10)  # perdu
elsif c=E then return(7) # gagné
else # cas pas possible
fi ;

end :

Cette fonction simule un jeu pour une enveloppe. Il faut l'exécuter 1000 fois.

[JPL]

La guéguerre entre Dlzlogic et leon1789 est un des marronniers des forums ici et ailleurs. Elle ne nous intéresse pas. Allez poster ailleurs !
Discussion fermée.