série et fonction continue

[Bruno0693]

Bonjour,

Soit f une fonction continue sur R telle que f(0) = 0. Soit (x_n) une suite réelle telle que la série de terme générale |x_n| soit convergente.

Je voudrais montrer que la série de terme général |f(x_n)| est également convergente.

Est-ce possible ? Si oui, comment faire ?

Merci.
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[ericcc]

Ca me semble faux : prends la fonction f(x)=x^1/3et la série 1/n² ?

[chrisric]

bonjour,
prenons f(x)=x^3 et x_n= 1/n^2. Alors la série f(x_n) n'est pas absolument convergente, puisque f(x_n) ne tend pas vers 0.
Il faut d'autres conditions sur la fonction, qui dépendent certainement de la suite que l'on considère.
Bonne continuation.

[Bruno0693]

Merci pour vos réponses.

Je m'excuse (honte à moi !), je n'ai pas cité l'énoncé en entier car il était un peu long. Je viens de me rendre compte que cette propriété n'est pas à démontrer mais constitue une hypothèse admise... !

Voici l'énoncé dans son intégralité si cela vous intéresse (c'est un problème de calcul différentiel qui n'a rien à voir avec ma question intiale) :

On dit qu'une suite appartient à l'espace si la série de terme général est convergente.

On admettra que la formule définit une norme sur telle que est un espace vectoriel complet.

Soient telle que et est bien définie et partout différentiable.

Calculer .

[A voir en vidéo sur Futura]