Equation des coniques

[invite4910fcda]

Bonjour, il me faudrait les équation des coniques dans un repère dont le'origine n'est pas forcement leur centre, quelqu'un peut me les donner?
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[martini_bird]

Salut,

excuse-moi: je pensais t'avoir répondu dans l'autre topic, mais je m'aperçois que non...

L'équation réduite centrée d'une ellipse est x²/a²+y²/b²=1. Dans un autre repère, il te suffit d'écrire le changement de repère qui va bien: X=rx+sy Y=tx+uy (avec ru-st=1).

Sinon, l'équation générale d'une conique (éventuellement dégénérée) c'est simplement ax²+bx+cy²+dy+e=0.

Cordialement.

[shokin]

L'équation générale des coniques est :

Ax^2+2Bxy+Cy+2Dx+eEy+F=0 où (A;B;C) inégal à (0;0;0).

Soient les déterminants respectifs des matrices :

IA B DI
IB C EI = L
ID E FI

IA BI
IB AI = l

Si L=0, la conique est dégénérée.
Si L non nul et si :
- l>0, la conique est une ellipse si (A+C)L<0.[e<1 ; si e=0, la conique est un cercle.]
- l=0, la conique est une parabole.[e=1]
- l<0, la conique est une hyperbole. [e>1]

e étant l'excentricité définie par e=sin(@1)/cos(@2)
[@1 étant l'angle compris entre le plan d'inclinaison et le plan normal à l'axe du cône, @2 étant l'angle entre l'axe et la génératrice du cône (angle d'ouverture du cône).]

L'équation cartésienne d'une conique est :

(1-e^2)x^2+y^2=2px

L'équation en coordonnées polaires d'une conique est :

r=p/(1-e*cos(@))

avec pour pôle l'un des foyers, et pour axe polaire l'axe focal
@ étant l'angle entre l'axe focal et (OP), O étant le foyer-pôle, P étant un point de la conique
p étant la distance entre O et Q, Q étant situé sur la conique et (OQ) perpendiculaire à l'axe polaire-focal.

e a les mêmes propriétés citées précédemment entre crochet.

Tu n'as plus qu'à manier le tout.

Shokin

[martini_bird]

Oui merci, j'ai oublié le terme en xy... Shame on me.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Linky84]

Salut à tous j'aimerais connaître la nature et les éléments caractéristiques de la courbe d'équation -2Y²+2*Racine(2)X + 1 = 0.

Merci d'avance !

[God's Breath]

Salut à tous j'aimerais connaître la nature et les éléments caractéristiques de la courbe d'équation -2Y²+2*Racine(2)X + 1 = 0.

Merci d'avance !

Il suffit de mettre l'équation sous la forme pour reconnaître l'équation canonique d'une parabole et en déduire le foyer et la directrice.

[Linky84]

Excuse moi mais j'arrive pas à reconnaître la forme y²=2px ... si tu pouvais développer merci !

[Thorin]

Commence par un changement d'origine du repère, ça te paraîtra déjà plus coniqual.

[Linky84]

C'est ce que j'ai fais mais j'étais pas sur ... bref voici ce que j'ai fait sur mon brouillon.

Je change de repère : je prends un nouvel origine O' ( -1/2*Rac(2);0)

J'arrive à une équation :

y² = Rac(2) x = 2 * rac(2)/2 * x .


Mon raisonnement est il juste si non pourquoi ?

[God's Breath]

C'est bien de la forme voulue :

.

Il suffit de mettre les bonnes lunettes.