Déterminant de Vandermonde

[invitef42f9650]

je n'arrive pas à calculer ce déterminant :

V (1, . . . , n) =

1 1 . . . . . . 1
1 2 . . . . . . n
2
1 2
2 . . . . . . 2n
...
...
...
n−1
1 n−1
2 . . . . . . n−1
n

je sais qu'on doit travailler sur les lignes puis sur les colonnes
j'ai fait : L_i--> L_i-a_inL₁
en suite
suivant la dernière colonne : j'ai réduit mon dét puisque je n'aurai que des '0' et un seul '1'
et la je bloque , je ne sais pas comment faire pour obtenir :
det=produit(a_j-a_i) i<j i=1.........n et j=1.........n
c'est le determinant de Vandermonde
merci
-----

[invitef42f9650]

je n'arrive pas à calculer ce déterminant :

V (a₁, . . . , a_n) =
1 1 1 ............... 1
a₁ a₂ a₃ ...............a_n
a₁² a₂² a₃² ..........a_n²
.
.
.
a₁^n-1 a₂^n-1 a₃^n-1 ........a_n^n-1

je sais qu'on doit travailler sur les lignes puis sur les colonnes
j'ai fait : L_i--> L_i-a_inL₁
en suite
suivant la dernière colonne : j'ai réduit mon dét puisque je n'aurai que des '0' et un seul '1'
et la je bloque , je ne sais pas comment faire pour obtenir :
det=produit(a_j-a_i) i<j i=1.........n et j=1.........n
c'est le determinant de Vandermonde
merci

[invite769a1844]

Salut,

une fois vérifiée l'initialisation de la récurrence, on suppose la formule du déterminant de Vandermonde vraie pour les matrice de Vandermonde de taille , et on est d'accord qu'on a:

.


Après tous les termes de la première ligne sont mutiples de , tous les termes de la seconde ligne sont multiples de , ...

en sortant ces facteurs du déterminant, on obtient

,

on retombe sur une matrice de Vandermonde plus petite, et par hypothèse de récurrence


.

Il ne reste plus qu'à conclure.

[invitef42f9650]

Salut,

une fois vérifiée l'initialisation de la récurrence, on suppose la formule du déterminant de Vandermonde vraie pour les matrice de Vandermonde de taille , et on est d'accord qu'on a:

.


Après tous les termes de la première ligne sont mutiples de , tous les termes de la seconde ligne sont multiples de , ...

en sortant ces facteurs du déterminant, on obtient

,

on retombe sur une matrice de Vandermonde plus petite, et par hypothèse de récurrence


.

Il ne reste plus qu'à conclure.

j'ai très bien compris les étapes seulement ce qui me chagrine c'est comment avez vous fait pour avoir

det(v)=........... (la 1ere étape)


avez vous fait la transposée de la matrice ? ensuite travailler sur les lignes ?
mais je ne vois pas du tout comment !!

"au fait comment vous faites pour pouvoir écrire en langage mathématique, même quand je fais copier coller c'est du charabia !!"

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

ah oui désolé, je croyais que tu faisais comme dans wiki mais on a pas la matrice dans le même sens, j'ai pris la transposée de la tienne mais ça change rien. Je croyais en fait que c'était par rapport à cet article que tu te basais: http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_de_Vandermonde.

Donc j'ai fait la même formule que toi sur les colonnes. Avec ta matrice, en fait tu fais la même chose mais avec ta formule sur les lignes en partant de la dernière ligne et en remontant jusqu'à la deuxième ligne .

[invite769a1844]

"au fait comment vous faites pour pouvoir écrire en langage mathématique, même quand je fais copier coller c'est du charabia !!"

je viens de retrouver le lien, tu peux regarder ici: http://forums.futura-sciences.com/thread12735.html