Fonctions continues de [0,1] dans R

[invitebfb070ef]

Est-il possible de munir l'espace des fonctions continues de dans d'un produit scalaire faisant de lui un espace hilbertien.
La réponse est "certainement" négative, mais j'aimerais en avoir la preuve...
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[GrisBleu]

Salut


- bilineaire
- positif defini

Pour le reste, regarde du cote de L2 (ou les Lp en general)
++



++

[inviteaeeb6d8b]

Les L^p sont complets pour p supérieur à 1

Soit alors

et donc :

existe et est finie,

donc, on peut voir l'ensemble des fonctions continues sur [0,1] comme l'espace qui est un espace de Hilbert avec le produit scalaire défini comme l'a fait Wlad.

où désigne la mesure de Lebesgue sur [0,1].

Romain

[invitebfb070ef]

Merci à vous Romain et Wlad mais, "malheuresement", muni du prod. scal. , l'espace des fonctions continues de dans n'est pas complet (c'est simplement un espace préhilbertien).

(Pour vous en convaincre, considérez par exemple la suite de fonctions valant 0 sur , 1 sur et sur . Cette suite est de Cauchy est converge vers l'indicatrice de , qui n'est évidemment pas continue...).

En bref, je pense que cette question est "assez" difficile (c'est d'ailleur peut-être un pbm ouvert...).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea07f6506]

Ca m'étonnerait. Un espace de Hilbert est, en particulier, un espace de Banach pour la norme associée au produit scalaire.

Or est un -espace vectoriel. sa dimension est infinie, mais dénombrable. En effet, on peut l'identifier à , sous-espace vectoriel de qui est un -espace vectoriel de dimension dénombrable.
Cependant, il n'existe pas d'espace de Banach de dimension infinie dénombrable. Donc ne peut pas être muni d'un produit scalaire qui en fasse un espace de Hilbert.

[inviteaeeb6d8b]

Bonsoir,

EDIT : j'ai dit des bêtises... est bien un Hilbert, mais si peut être muni d'un structure de préhilbertien (avec le produit scalaire usuel), il n'est alors pas complet.