equation differentielle peu commune

[invitedb325deb]

bonjour,

Désolé de vous importuner avec une demande de résolution d'équation mais je n'y arriverai pas tout seul.

Le probleme physique est tout simple, un point materiel laché sans vitesse initiale à la verticale sur une section de cylindre, déterminer l'équation de la trajectoire (sans frottement).

Bon, jusqu'ici, c'est plutot simple : deuxieme loi de Newton, projection, etc.....

En coordonnée polaire, je me retrouve avec cette équation différentielle :
y" = siny
Et là je bloque..... je ne suis qu'un pauvre biochimiste qui se forme seul à la physique en reprenant les cours de premiere année.... J'ai beau regarder les résolutions d'équations différentielles de premiére année de physique, aucune ne traite celle là !
Déjà en terme de terminologie est-ce bien une "équation différentielle de second ordre homogéne" ?

Dans l'exercice, il y est indiqué quand multipliant siny par y il est possible avec les bagages mathématiques de première année de résoudre l'équation.... quand pensez vous ?

Merci !
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[inviteaf1870ed]

L'indice est de multiplier par y' des deux cotés
y"y'=y'siny, et la tu es mieux

[inviteaf1870ed]

Cela étant dit, tu trouveras toujours une intégrale elliptique...

[invitedb325deb]

Merci.....même si ça ne me paraiît pas plus intuitif, j'irais voir mes bouquin de maths.

Ceci dit comment appelle t'on ce genre équadif ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea41c27c1]

La solution exacte est inconnue. Les choses standards que l'on démontre sur cet te équation c'est qu'il y a trois régimes :
- Avec la condition initiale y(0)=0 et y'(0)=2 on a et .
- Avec y(0)=0 et y'(0)<2 la solution oscille et on peut exprimer la période sous forme d'une intégrale.
- Avec y(0)=0 et y'(0)>2, je te laisse y réfléchir....

Par contre en revenant à ton problème physique, je vois que tu as enlevé les constantes physiques, mais je crois que y représente l'angle et non pas l'ordonnée...

[invitedb325deb]

y c'est l'angle et ça n'avais pas d'interet de mettre les constantes comme g/r (g champ gravitationel constant et r le rayon du cyllindre...) pour demander une résolution d'équadiff.

Ceci dit, dans l'exo, il demande clairement une intégrale !?

Merci quand même.... même si je n'aime pas ça du tout !!!

[inviteaf1870ed]

Sinon on se ramène à une équation très simple si on prend l'hypothèse que y est petit, et que l'on fait l'approximation sin(y)~y

[invitedb325deb]

certes mais l'amplitude d'y est de 0 à pi/2....