Etude de fonction

[inviteb473d51f]

Bonjour à toute et à toutes.
J'ai un petit soucis avec un exo qui sort de ce que je connais d'habitude et par conséquent, je nage un peu.
Le voici :

Sur le cercle unité C, on a un point A d'affixe 1 et un autre point B (distinct de A) d'affixe e^(ia) ( 0< a ≤ π).
Soit M, un point variable de C, d'affixe e^(it).
En étudiant la fonction : f (t) = | 1- e^(it) | + | e^(ia) - e^(it) |, montrer que la longueur MA+MB admet un maximum local pour exactement deux positions du point M que l'on précisera.


Pour ma part, j'ai pris les barres comme des modules et non des valeurs absolues et j'ai simplifié l'expression de f(t), c'est-à dire que j'ai remplacé e^(it) par " cos t + i sin t " et et e^(ia) par " cos a + i sin a ".
Puis en manipulant avec les formules de trigo, je parviens à :

f(t) = 2 * [ sin (t/2) + sin ((a-t)/2 ) ].
J'en conclut que f est définie sur R et je calcule la dérivée pour avoir les variations de f.
Je trouve : f'(t) = cos (t/2) - cos ((a-t)/2)

Donc voilà où j'en suis avec l'exo.
Je ne sais pas trop si ce que j'ai fait est juste ou pas et j'aimerais donc avoir quelques éclairements concernant ce que j'ai fait ou dans la suite.
Par ailleurs, j'ai remarqué que f(t) = MA + MB.

Merci pour vos réponses.
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[inviteb473d51f]

personne

[Thorin]

Ce que tu as fait est très bien !

Il ne reste qu'à étudier les variations de f, c'est à dire le signe de f '. Pour ceci, on peut remarquer que :


Cette factorisation t'aidera sans doute.

[inviteb473d51f]

. Pour ceci, on peut remarquer que :

Un truc qui me gêne :

Vous utiliser surement la formule :

cos p - cos q = - 2 sin [(p+q)/2] * sin [(p-q)/2]

Mais dans ce cas là, p = t/2 et q = (a-t)/2, donc on ne devrait pas avoir :

-2 sin a/4 * sin (2t - a)/4 ?

Je me trompe ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb473d51f]

. Pour ceci, on peut remarquer que :

Un truc qui me gêne :

Vous utilisez surement la formule :

cos p - cos q = - 2 sin [(p+q)/2] * sin [(p-q)/2]

Mais dans ce cas là, p = t/2 et q = (a-t)/2, donc on ne devrait pas avoir :

-2 sin a/4 * sin (2t - a)/4 ?

Je me trompe ?

[inviteb473d51f]

oui ? non ?

[Thorin]

Tu as raison

[inviteb473d51f]

ahh je me disais
mais en quoi le fait de factoriser ainsi, me permettra de connaitre le signe de la dérivée ?
je dois discuter selon a ?
comment faire ?

[Thorin]

En factorisant ainsi, tu vas pouvoir trouver les 0 de la dérivée...et assurément, connaitre le signe de quelque chose est plus facile quand on sait où ce quelque chose vaut 0...
Et surtout, tu vas pouvoir faire des tableaux de signes, puis tout multiplier.

[inviteb473d51f]

hmmm pas si facile à faire.
Mon idée était la suivante :

f ' (t) = - 2 sin (a/4) * sin [(2t - a)/4]

or on sait d'après l'énoncé que :
0 < a ≤ π

donc 0 < a/4 ≤ π/4
soit 0 < sin a/4 ≤ racine de 2/2

d'où le signe de f ' (t) = signe de - sin [(2t-a)/4]

Et c'est là que je bloque .
f' ' (t) s'annulerait pour t = 2kπ + a/2 (vrai ?)
Mais comment est-ce que je peux faire mon tableau ?
Dois-je réduire l'intervalle d'étude de f ?

[Thorin]

Toutes mes excuses, j'ai manqué de vigilance, il ne faut pas enlever les valeurs absolues, au tout début, dans l'expression de f !

[inviteb473d51f]

hmmm !

Dans l'expression de f, si on considère les barres comme des barres de module et non comme des barres de valeurs absolues, il me semble qu'on puisse enlever ces barres.

Si vous affirmez qu'on ne peut enlever ces barres, pouvez vous expliciter ?

[Thorin]

Dans l'expression de départ, c'est des modules, mais ensuite, ça se transforme en valeurs absolues. Dans tous les cas, au final, on doit avoir forcément quelque chose de positif, puisqu'on calcule une somme de modules. Or, si tu ne mets pas de barres de valeurs absolues, c'est parfois négatif.

Je trouve que tu fais un peu trop de différence entre module et valeur absolue...au fond, c'est la même chose : la valeur absolue n'est que le module d'un complexe réel.

[inviteb473d51f]

Cependant, si on garde les barres dans l'expression de f, l'étude des variations de f n'en sera que plus dur (je ne sais pas dériver des valeurs absolues).

Donc pour soulever ce problème, je me suis réferer au fait que :
| z | = racine de (x²+y²)
et ainsi, les barres s'enlèvent et comme je raisonne par équivalences successives, ce que j'obtiens est bien positif.

Ensuite je calcule la dérivée mais un autre problème se pose, dans l'expression de ma dérivée, j'ai 2 paramètres inconnues et je ne sais pas comment étudier le signe