Geometrie de la bissectrice (et meme N-sectrice)

[invite3be2f223]

Bonjour,

Voici un petit probleme auquel je suis confronté:

Soit un triangle PAB. Les distances PA , AB et PB sont connues. Soit Alpha l'angle APB (en P) . Alpha est connu egalement.

La bissectrice de ce triangle partant de P coupe AB en un point O.

On a donc les angles APO = OPB = Alpha/2 .

Je me demande si il existe un moyen de calculer la distance PO??
Est-ce tout simplement (PA + PB)/2 ? (j'en doute)


En fait, mon probleme est plus général (l'exemple ci dessus est un cas particulier pour aider à la reflexion)
Si M est un point de [AB] tel que l'angle APM=Alpha/n , quelle est la distance PM???

Avez vous une idée pour m'aider?

Merci d'avance
A+
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[invite4793db90]

Salut,

il te suffit d'utiliser le théorème d'Al-Kashi dans le triangle POB :

.

Cordialement.

[EDIT] Oups, j'ai parlé trop vite, on ne connaît pas OB...

[invite3be2f223]

Effectivement, l'idée est pas mal, mais on ne connais pas OB....

[invite4793db90]

Soit B' le symétrique de B par rapport à la bissectrice et I le milieu de [BB'] : alors



La mesure de se calcule à l'aide de la relation d'Al-Kashi dans le triangle PAB.

Puisque , on en déduit ainsi la mesure de , puis la longueur de OB dans le triangle OIB rectangle en I.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3be2f223]

Merci pour ton aide.

J'ai toutefois un doute sur l'equation d'Al Kashi que tu m'a donné.

J'aurais plutot ecrit :

PO^2 = PB^2 + OB^2 - 2.PB.OB.cos(alpha/2)


Pourrais-tu me le confirmer stp ?? merci d'avance !
(Sinon il faut résoudre un polynôme du second degré pour trouver PO!!)

[inviteaf1870ed]

Je propose une approche différente, qui semble marcher :

En appelant a l'angle APB, b l'angle PBA, et c l'angle BAP

On prend la loi des sinus dans le triangle POB : OB/sin(a/2)=OP/sin(b)
Dans le triangle PAB : AB/sin(a)=AP/sin(b)=PB/sin(c)
Dans le triangle POA : OA/sin(a/2)=OP/sin(c)

Des deux premières équations on tire en éliminant sin(b) :

OB=(AB*sin(a/2)/AP*sin(a))*PO et
OA=(AB*sin(a/2)/BP*sin(a))*PO

En utilisant OA+OB=AB on va trouver une équation qui définit PO en fonction de Ab, AP, PB et cos(a/2).

[invite3be2f223]

Super!
J'aime bcp la seconde solution. Merci bcp !

a+++