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Geometrie de la bissectrice (et meme N-sectrice)




  1. #1
    Zion212

    Geometrie de la bissectrice (et meme N-sectrice)

    Bonjour,

    Voici un petit probleme auquel je suis confronté:

    Soit un triangle PAB. Les distances PA , AB et PB sont connues. Soit Alpha l'angle APB (en P) . Alpha est connu egalement.

    La bissectrice de ce triangle partant de P coupe AB en un point O.

    On a donc les angles APO = OPB = Alpha/2 .

    Je me demande si il existe un moyen de calculer la distance PO??
    Est-ce tout simplement (PA + PB)/2 ? (j'en doute)


    En fait, mon probleme est plus général (l'exemple ci dessus est un cas particulier pour aider à la reflexion)
    Si M est un point de [AB] tel que l'angle APM=Alpha/n , quelle est la distance PM???

    Avez vous une idée pour m'aider?

    Merci d'avance
    A+

    -----


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  3. #2
    martini_bird

    Re : Geometrie de la bissectrice (et meme N-sectrice)

    Salut,

    il te suffit d'utiliser le théorème d'Al-Kashi dans le triangle POB :

    .

    Cordialement.

    [EDIT] Oups, j'ai parlé trop vite, on ne connaît pas OB...
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #3
    Zion212

    Re : Geometrie de la bissectrice (et meme N-sectrice)

    Effectivement, l'idée est pas mal, mais on ne connais pas OB....


  5. #4
    martini_bird

    Re : Geometrie de la bissectrice (et meme N-sectrice)

    Soit B' le symétrique de B par rapport à la bissectrice et I le milieu de [BB'] : alors



    La mesure de se calcule à l'aide de la relation d'Al-Kashi dans le triangle PAB.

    Puisque , on en déduit ainsi la mesure de , puis la longueur de OB dans le triangle OIB rectangle en I.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  6. #5
    Zion212

    Re : Geometrie de la bissectrice (et meme N-sectrice)

    Merci pour ton aide.

    J'ai toutefois un doute sur l'equation d'Al Kashi que tu m'a donné.

    J'aurais plutot ecrit :

    PO^2 = PB^2 + OB^2 - 2.PB.OB.cos(alpha/2)


    Pourrais-tu me le confirmer stp ?? merci d'avance !
    (Sinon il faut résoudre un polynôme du second degré pour trouver PO!!)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ericcc

    Re : Geometrie de la bissectrice (et meme N-sectrice)

    Je propose une approche différente, qui semble marcher :

    En appelant a l'angle APB, b l'angle PBA, et c l'angle BAP

    On prend la loi des sinus dans le triangle POB : OB/sin(a/2)=OP/sin(b)
    Dans le triangle PAB : AB/sin(a)=AP/sin(b)=PB/sin(c)
    Dans le triangle POA : OA/sin(a/2)=OP/sin(c)

    Des deux premières équations on tire en éliminant sin(b) :

    OB=(AB*sin(a/2)/AP*sin(a))*PO et
    OA=(AB*sin(a/2)/BP*sin(a))*PO

    En utilisant OA+OB=AB on va trouver une équation qui définit PO en fonction de Ab, AP, PB et cos(a/2).

  9. #7
    Zion212

    Re : Geometrie de la bissectrice (et meme N-sectrice)

    Super!
    J'aime bcp la seconde solution. Merci bcp !

    a+++

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