Définitions de la convergence normale

[invite97a526b6]

Bonjour,

J'ai cette 1ère définition de la convergence normale d'une série de fonctions Sigma u_n, u_n : I --> IR, I étant un intervalle de IR :

Sigma u_n normalement convergente sur I <==> il existe une série numérique Sigma a_n convergente telle que ||u_n||_OO =< a_n pour tout n.

J'ai aussi une seconde définition équivalente suivante :

Sigma u_n normalement convergente sur I <==> pour tout n, u_n est bornée sur I et Sigma ||u_n||_OO converge.

Voici ma question :

Dans la seconde définition, si la série des normes Sigma ||u_n||_OO converge (|| ||_OO, norme de la convergence uniforme sur I), alors il me semble que pour tout n, u_n est bornée sur I ? et cette condition serait en trop dans la seconde définition ?

Peut-on me donner un contre-exemple d'une série de fonctions dont la série des normes || ||_OO converge et où il existe n et x₀ de I tel que u_n(x₀) soit infini (u_n non borné) ? et en conséquence ne convergerait pas normalement ?

Merci à qui me répondra.
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[invite57a1e779]

Dans la seconde définition, si la série des normes Sigma ||u_n||_OO converge (|| ||_OO, norme de la convergence uniforme sur I), alors il me semble que pour tout n, u_n est bornée sur I ? et cette condition serait en trop dans la seconde définition ?

Le problème, c'est que tu ne peux parler de la norme de la norme de la convergence uniforme que pour des applications bornées.

Si n'est pas bornée sur , alors n'existe pas, et ne peut
– ni être majoré par un , quel qu'il soit, dans la définition 1 ;
– ni être le terme général d'une série convergente dans la définition 2.

La définition 1 serait mieux rédigée sous la forme : pour tout , est bornée sur et il existe une série numérique ..."
Il se peut aussi que cette définition soit donnée dans un cadre restreint à des fonctions bornées, ce qui rend inutile la répétition de cette précision.
Il existe aussi des auteurs qui considèrent que le seul fait de parler de la norme de la convergence uniforme et d'écrire sous-entend que l'on s'est restreint à des fonctions bornées.

[invite97a526b6]

Le problème, c'est que tu ne peux parler de la norme de la norme de la convergence uniforme que pour des applications bornées.

Si n'est pas bornée sur , alors n'existe pas, et ne peut
– ni être majoré par un , quel qu'il soit, dans la définition 1 ;
– ni être le terme général d'une série convergente dans la définition 2.

La définition 1 serait mieux rédigée sous la forme : pour tout , est bornée sur et il existe une série numérique ..."
Il se peut aussi que cette définition soit donnée dans un cadre restreint à des fonctions bornées, ce qui rend inutile la répétition de cette précision.
Il existe aussi des auteurs qui considèrent que le seul fait de parler de la norme de la convergence uniforme et d'écrire sous-entend que l'on s'est restreint à des fonctions bornées.

Merci pour ta réponse.

En réfléchissant, je vois que j'ai assimilé abusivement la norme de la convergence uniforme ||f||_U := sup_{x app I} f(x) avec la norme ||f||_OO := inf {M; |f(x)| =< M, Lebesgue-presque partout}.

Ces deux normes ne sont égales que si f est continue bornée. Je voulais évidemment faire référence à ||f||_U.

Ceci étant mis au point, d'après ce que je comprends de ton post la simple définition suivante est correcte puisque écrire ||u_n||_U suppose implicitement que u_n est bornée sur I :

Sigma u_n normalement convergente sur I <==> Sigma ||u_n||_U converge. ?