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Topologie : fonction continue et courbe fermée



  1. #1
    Eunomia

    Topologie : fonction continue et courbe fermée


    ------

    Bonjour !

    J'ai une fonction f:[a,b]->R bornée (R étant l'ensemble des réels), et Cf sa courbe représentative.

    Je dois montrer que si f est continue sur [a,b], alors Cf est une partie fermée de R² pour la distance usuelle.

    Pourriez-vous me dire si cette preuve est correcte ? :

    Soit F: [a,b]R R définie par F(x,y)=y-f(x). Bien sur, si f est continue, F est continue. Il est immédiat que Cf=F-1({0}) et on sait que l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue est fermée.

    -----

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  3. #2
    Eunomia

    Re : Topologie : fonction continue et courbe fermée

    F:[a,b]xR -> R, pardon

  4. #3
    God's Breath

    Re : Topologie : fonction continue et courbe fermée

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Eunomia Voir le message
    Soit F: [a,b]R R définie par F(x,y)=y-f(x). Bien sur, si f est continue, F est continue.
    En est-on à ce point certain, que cela puisse être affirmé sans aucun embryon de preuve ?
    La suite se débobine effectivement sans problème.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. #4
    Eunomia

    Re : Topologie : fonction continue et courbe fermée

    Eh bien cela me paraît logique que y soit continue dans R et on sait que f(x) est continue. Et je n'arrive pas à voir pourquoi ça pourrait ne pas être vrai ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Eunomia

    Re : Topologie : fonction continue et courbe fermée

    Citation Envoyé par Eunomia Voir le message
    f(x) est continue.
    Je voulais bien sûr dire f et pas f(x)

  8. #6
    edpiste

    Re : Topologie : fonction continue et courbe fermée

    Attention, ce n'est pas la même chose de dire que

    x->f(x) est continue et que (x,y)->f(x) est continue

    car l'espace de départ (et sa topologie) n'est pas le même dans chaque cas.
    Il faut donc travailler un peu plus...

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