(Petit) problème de Probabilité.

[invitef3bd5ad5]

Bonjour,

On m'a soumis le problème suivant :
Un rat est enfermé dans une cage ou sont enfermées 6 boites. Le rat peut en soulever le couvercle pour examiner l'intérieur. Dans la boite A on depose de la nourriture et dans les boites B,C,D,E,F on ne dépose rien. Le rat est affamé il essaie de trouver à manger en regardant à l'interrieur de chaque boite jusqu'a ce qu'il trouve la bonne. Il à droit à 20 essais cad qu'on lui donne le contenu de la boite A si les 20 tentatives sont infructueuses.

On considère la variable aléatoire X correspondant au nombre d'essais pour que le rat choisisse la bonne boite contenant la nourriture.On envisage trois hypothèses :

H1 : Le rat n’a aucune mémoire, il choisit à chaque essai de façon équiprobable l’une des 6 boites.

H2 : Le rat a une mémoire immédiate, à chaque nouvel essai, il évite la mauvaise boite choisie à l’essai précédent et il choisit de façon équiprobable l’une des 5 autres boites.

H3 : Le rat a une bonne mémoire, à chaque nouvel essai, il évite toutes les mauvaises boites choisies précédemment et il choisit de façon équiprobable entre celles qu’il n’apas encore essayées.

Déterminer , dans chacune des hypothèses, la loi de probabilité de la variable aléatoireX.

Voici ma conjecture ( dites moi si je me trompe )

H1 :

Variable X 1 2 ... 20
Probabilité 1/6 1/6 ... 1/6

H2 :

Variable X 1 2 ... 20
Probabilité 1/6 1/5 ... 1/5

H3 :

Variable X 1 2 3 4 5 6
Probabilité 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1/1

Merci pour avoir lu mon message !
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[invite14ea0d5b]

pour H1 :
p(X=1) = 1/6
p(X=2) = 5/6*1/6 = (1-p(X=1))*1/6 = 1/6 - (1/6)^2
p(X=3) = (1-(p(X=1)+p(X=2)))*1/6 = 1/6 - 2*(1/6)^2 + (1/6)^3
p(X=4) = 1/6 - 3*(1/6)^2 + 3*(1/6)^3 - (1/6)^4
...
p(X=20) = 1 - tout le reste

en fait, p(X=i) = 1/6 * (1-1/6)^(i-1) pour i compris entre 1 et 19.
donc p(X=20) = 1 - (1/6) * somme_i((5/6)^(i-1)) = 1 - ((5/6)^19-1)/5

explications

Dès que le rat trouve la nourriture, on s'arrête. Donc pour que X=2, il faut
1°) que le rat n'ait pas trouvé la nourriture au premier essai (1-1/6=5/6)
2°) qu'il trouve la nourriture ce coup là (1/6)
=> p(X=2) = 5/6*1/6

on applique le même principe pour X = 3,...
ensuite c'est des calculs.


La même méthode s'applique aux autres cas (H2, H3). Pour contrôle, il faut que la "somme des probabilités" fasse 1...

[shokin]

Pour H1,

Il a une probabilité de 1/6 de trouver la bonne boîte en 1 essai.

Restent 5/6.

Il a une probabilité de 1/6*5/6 de trouver la bonne boîte en 2 essais.

Restent (5/6)^2.

Il a une probabilité de (1/6)*(5/6)^(n-1) de trouver la boîte en n essais.

Restent (5/6)^n.

Il a une probabilité de (1/6)*(5/6)^19 de trouver la boîte en 20 essais.

Restent (5/6)^20 de se voir offert sa collation sans mérite (mais bon, c'est un rat, et pas si bête que ça en réalité) si ce n'est celui d'avoir cherché. Faut dire que sans mémoire...

Je continuerai pour H2 et H3 plus tard (à moins que qqn ait trouvé également). Je dois y aller !

Shokin

[invite14ea0d5b]

oui c'est plus simple ^^

bon maintenant il faut laisser diwee chercher un peu...

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

Pour H2,

Il a une probabilité de 1/6 de trouver sa bouffe du premier coup.

Restent 5/6.

Il a une probabilité de 1/5*5/6 de gagner sa croûte en deux coups.

Restent 4/5*5/6.

Il a une probabilité de 1/5*4/5*5/6 de manger son repas en trois essais.

Restent (4/5)^2 * 5/6.

Il a une probabilité de 1/5 * (4/5)^(n-2) * 5/6 de se procurer sa pitance en n tentations.

Restent (4/5)^(n-1) * 5/6.

Il a une probabilité de 1/5 * (4/5)^18 * 5/6 de casser la croûte grâce à sa dernière chance.

Restent (4/5)^19 * 5/6 pour se voir offrir le bon gueuleton sans trop de fièreté.



Pour H3, notre fabuleuse mémoire (heu j'espère... ) :

(vous vous doutez bien qu'il n'aura pas besoin d'un septième coup de la providence)

Il a une probabilité de 1/6 de pouvoir se réjouir :"Oui ! j'ai réussi du premier coup !".

Restent 5/6.

Il a une probabilité de 1/5*5/6=1/6 de se satisfaire :"Oui ! j'ai vite trouvé ! réussir du premier coup est une illusion !"

Restent 4/5*5/6=4/6.

Il a une probabilité de 1/4*4/5*5/6=1/6 de se dire :"Bon ! ça va ! tant que je ne dépassais pas la moitié du nombre de boîtes."

Restent ... =3/6.

Il a une probabilité de 1/6 de penser tout bas :"Mouais, quatre essais pour six boîtes, pas terrible..."

Restent 2/6.

Il a une probabilité de 1/6 de songer :"Arg ! m'a fallu 5 essais sur 6 ! j'suis vraiment pas chanceux à ce jeu. Je ne joue plus !"

Reste 1/6.

Il a une probabilité de 1/6 de penser avec fierté :"Ben quoi ! je l'ai eu ! J'ai fait ce que j'ai pu. Je suis un des meilleurs rats du monde !"

(reste 0/6)

Comme quoi, avec mémoire et patience, on peut gagner du temps (et même arriver au but à coup sûr !).

Shokin

[invitef3bd5ad5]

merci à toi shokin, jme disais bien qu'il y avait un petit probleme car la somme des proba ne faisait pas 1, maintenant c'est réglé !

[shokin]

De rien, c'est le genre de problème que je savoure. (enfin, quand j'y comprends quelque chose)

Shokin