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Racine du développement en série de la fonction exponentielle?



  1. #1
    stefjm

    Racine du développement en série de la fonction exponentielle?


    ------

    Bonjour,

    Je m'intéresse au développement en série entière de la fonction exponentielle et plus particulièrement aux racines de la série limitée à n termes.

    , une racine en -1
    , deux racines en -1+i, -1-i
    , racines en ...
    Etc...

    Cela porte-t-il un nom particulier?
    Est-ce que cela a déjà été étudié?

    D'avance merci.

    -----
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

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  3. #2
    Le lyceen59155

    Re : Racine du développent en série de la fonction exponentielle?

    Effectue l'étude dans R , d'abord tu peut remarquer que pour tout n, on a (fn)'=fn-1 et puis comme tu la vu sur les petites valeurs on a au moins une racine réelle lorsque n est impair (tu peut t'en convaincre avec le Tvi) et des racines complexes lorsque n est pair , donc pas de racines reelles.
    Je te propose d'effectuer une récurrence :Si n est pair , on a pas de racines relles , si n est impaire ,on une unique racine réelle . (Utilise (fn)'=fn-1 et fait une etude de fonction).

  4. #3
    blou92

    Re : Racine du développent en série de la fonction exponentielle?

    bonjour,
    Ce ne serait pas plutôt (fn)'=fn - p^n/n! ?

  5. #4
    Le lyceen59155

    Re : Racine du développent en série de la fonction exponentielle?

    Le -1 est en indice , (f(n))'=f(n-1) avec les () qui contiennent les indices de la suite de fonctions.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    blou92

    Re : Racine du développent en série de la fonction exponentielle?

    Re,
    OK, c'est plus clair.
    Pour n impair, n-->f(n) polynôme strictement croissant
    avec 2 limites infinies opposées donc 1 seule racine réelle.

  8. #6
    Le lyceen59155

    Re : Racine du développent en série de la fonction exponentielle?

    Avec ce raisonnement tu en deduis qu'il existe au moins une solution mais tu ne sais pas si elle uniquecar tu n'as pas la prouver la stricte monotonie , qui n'est pas si evidente que cela.
    Dernière modification par Le lyceen59155 ; 28/10/2008 à 21h15.

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  10. #7
    stefjm

    Re : Racine du développent en série de la fonction exponentielle?

    Merci pour les pistes.
    Je vais regarder cela de plus près.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  11. #8
    stefjm

    Re : Racine du développent en série de la fonction exponentielle?

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Je m'intéresse au développement en série entière de la fonction exponentielle et plus particulièrement aux racines de la série limitée à n termes.

    , une racine en -1
    , deux racines en -1+i, -1-i
    , racines en ...
    Etc...

    Cela porte-t-il un nom particulier?
    Est-ce que cela a déjà été étudié?
    Bonjour,
    Je me permets de relancer ce sujet sur les racines du développement en série de la fonction exponentielle.

    C'est en rapport avec le sujet de physique suivant :
    http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2799755

    Où il est question des pôles de l'approximation rationnelle par fonction de transfert d'un retard pur modélisé en transformée de Laplace par e^{-Tp}.

    D'un point de vu physique, il est curieux qu'une approximation à l'ordre 1, 2, 3 ou 4 soit stable alors qu'une approximation plus précise (vérifiée numériquement de 5 à 10) ne le soit pas.
    Sachant qu'en plus, l'opérateur retard est stable.

    La stabilité est donnée par le signe de la partie réelle de ces pôles.

    Qu'en pense les mathématiciens de ce groupe?
    Auiez-vous des sources sur ce sujet?

    Bien cordialement.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  12. #9
    Armen92

    Re : Racine du développent en série de la fonction exponentielle?

    Bonsoir,
    Que dit le théorème de Rouché (et ses avatars) sur la question que vous vous posez ?
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  13. #10
    acx01b

    Re : Racine du développent en série de la fonction exponentielle?

    salut,

    si tu fais un DL (de l'inverse) au voisinage de 0 de la transformée de laplace, ok, mais alors quand tu calcules la réponse impulsionnelle (quand tu repasses en temporel) tu n'as pas trop le droit d'intrégrer de -infini.j à + l'infini.j puisque ton DL est par définition faux en l'infini

    voilà ce que je propose :
    réponse fréquentielle du retard dans le domaine de fourier :
    son approximation au voisinage de 0 :
    mais doit être à support borné sinon ça n'a aucun sens, et alors avec la borne d'intégration qui dépend de l'ordre du DL

    et miracle : ta réponse temporelle devient stable !

  14. #11
    stefjm

    Re : Racine du développent en série de la fonction exponentielle?

    Citation Envoyé par Armen92 Voir le message
    Bonsoir,
    Que dit le théorème de Rouché (et ses avatars) sur la question que vous vous posez ?
    Bonjour,
    Je ne connaissais pas ce théorème, ni ce mathématicien.
    http://mathworld.wolfram.com/RouchesTheorem.html

    J'avais bien essayé de voir avec le lieu de Nyquist, mais sans trop de résultats.

    Je vais essayer avec le théorème que vous proposez et tâcher de trouver le contour qui va bien...

    Merci.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  15. #12
    stefjm

    Re : Racine du développent en série de la fonction exponentielle?

    Citation Envoyé par acx01b Voir le message
    si tu fais un DL (de l'inverse) au voisinage de 0 de la transformée de laplace, ok, mais alors quand tu calcules la réponse impulsionnelle (quand tu repasses en temporel) tu n'as pas trop le droit d'intrégrer de -infini.j à + l'infini.j puisque ton DL est par définition faux en l'infini

    voilà ce que je propose :
    réponse fréquentielle du retard dans le domaine de fourier :
    son approximation au voisinage de 0 :
    mais doit être à support borné sinon ça n'a aucun sens, et alors avec la borne d'intégration qui dépend de l'ordre du DL

    et miracle : ta réponse temporelle devient stable !
    Bonsoir,
    Merci pour l'idée.
    Cela me semble artificiel de borner les bornes.
    D'autant que pour les ordres 1 à 4, comme les racines sont toutes à parties réelles négatives, on peut intégrer de moins l'infini à plus l'infini sans soucis.

    Ce qui m'intrigue, c'est qu'à partir de l'ordre 5, il y a des racines à parties réelles positives.
    D'un point de vue physique, c'est étonnant qu'une meilleure approximation soit moins stables qu'une moins bonne.

    D'un point de vue mathématique, je suis trop quiche pour savoir démontrer qu'à partir de l'ordre 5, c'est instable.

    Cordialement.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

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  17. #13
    Armen92

    Re : Racine du développent en série de la fonction exponentielle?

    Citation Envoyé par acx01b Voir le message
    salut,

    si tu fais un DL (de l'inverse) au voisinage de 0 de la transformée de laplace, ok, mais alors quand tu calcules la réponse impulsionnelle (quand tu repasses en temporel) tu n'as pas trop le droit d'intrégrer de -infini.j à + l'infini.j puisque ton DL est par définition faux en l'infini
    Oui et non : les théorèmes de Tauber légitiment dans certains cas l'inversion terme à terme du développement de la transformée de Laplace ; ce faisant, on obtient un développement asymptotique de l'original qui est parfaitement correct.
    Ce genre d'acrobaties est sans danger pourvu que l'on ait au préalable identifié toutes les singularités (pôles, points de branchement, etc.) de l'image de Laplace. Sinon, on risque fort de dire des bêtises...
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  18. #14
    Armen92

    Re : Racine du développent en série de la fonction exponentielle?

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Bonsoir,
    Ce qui m'intrigue, c'est qu'à partir de l'ordre 5, il y a des racines à parties réelles positives.
    D'un point de vue physique, c'est étonnant qu'une meilleure approximation soit moins stables qu'une moins bonne.
    Je pense qu'il n'y a pas lieu d'en être étonné. On (en tout cas pas moi !) ne connaît pas de théorème permettant d'affirmer qu'une "meilleure" approximation (suivant quel critère ?) augmente la stabilité.
    La convergence vers une solution exacte en suivant une séquence d'approximations peut fort bien donner des résultats oscillants de part et d'autre de la solution.
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  19. #15
    stefjm

    Re : Racine du développent en série de la fonction exponentielle?

    Citation Envoyé par Armen92 Voir le message
    Je pense qu'il n'y a pas lieu d'en être étonné. On (en tout cas pas moi !) ne connaît pas de théorème permettant d'affirmer qu'une "meilleure" approximation (suivant quel critère ?) augmente la stabilité.
    J'ai regardé les approx classiques Taylor et Padé.
    En commande de procédé, en général, si on augmente l'ordre du modèle, on gagne en fidélité de la description.
    Or dans le cas du retard pur, stable, ses approximations ne le sont pas.
    Citation Envoyé par Armen92 Voir le message
    La convergence vers une solution exacte en suivant une séquence d'approximations peut fort bien donner des résultats oscillants de part et d'autre de la solution.
    Mais là, c'est pire, puisque les approximations d'ordre >4 divergent toutes.
    Pas moyen d'approximer un retard pur avec une équation différentielle linéaire à coeff constant!?
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  20. #16
    Armen92

    Re : Racine du développent en série de la fonction exponentielle?

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    J
    Pas moyen d'approximer un retard pur avec une équation différentielle linéaire à coeff constant!?
    J'avoue être un peu perdu dans votre problématique.
    Qu'entendez-vous par "retard pur" ?
    Pourriez-vous résumer le problème ?
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  21. #17
    stefjm

    Re : Racine du développent en série de la fonction exponentielle?

    Citation Envoyé par Armen92 Voir le message
    J'avoue être un peu perdu dans votre problématique.
    Qu'entendez-vous par "retard pur" ?
    Pourriez-vous résumer le problème ?
    Bonsoir,
    Le fil original en physique
    http://forums.futura-sciences.com/ph...etard-pur.html

    Je résume ici :
    Je considère un système retard pur T de fonction de transfert en transformée de Laplace . (réponse implulsionnelle )
    C'est un système stable de toute évidence. (un dirac en entrée, la sortie revient à 0)

    Je considère les approximations rationnelles de la fonction de transfert de ce retard. (Ou l'équation différentielle associée)

    A l'odre 1

    Pôle en -1/T : Système stable car racine à partie réelle négative.

    A l'ordre 2

    pôles en 1/T(-1+-i) donc à partie réelle négative, donc stable.

    A l'ordre 3

    pôles en 1/T(- 0.701+-i.1.807) et -1.59 stable.

    A l'ordre 4 : Stable

    Au delà : instable.

    Cordialement.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  22. #18
    Armen92

    Re : Racine du développent en série de la fonction exponentielle?

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Bonsoir,
    Le fil original en physique
    http://forums.futura-sciences.com/ph...etard-pur.html

    Je résume ici :
    Je considère un système retard pur T de fonction de transfert en transformée de Laplace . (réponse implulsionnelle )
    ......
    La fonction a une singularité essentielle à l'infini. La remplacer par une fraction rationnelle du genre 1/Polynôme (qui est une fonction méromorphe) la dénature complètement : il n'est pas surprenant que des approximations successives donnent à peu à près tout et n'importe quoi...
    C'est un peu comme si, ayant une transformée de Laplace du genre , on en faisait sauvagement un DL et que l'on inverse terme à terme : on aurait un développement où apparaîtrait la fonction de Dirac et ses dérivées. Quand bien même cela aurait formellement un sens, on n'en ferait rien en pratique.
    Il ne faut jamais oublier qu'une fonction analytique est essentiellement définie par ses singularités. Toute approximation doit donc avant tout les préserver autant que faire se peut.
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

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