salut. je suis entrain de faire le petit exercice suivant :
Soitune matrice nilpotente. Calculer
Si
note : commencer par étudier le cas où A est inversible).
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je doute de la simplicité apparente de cette exercice. ai je bon ? merci.
La déterminant n'est pas une application linéaire des matrices, donc c'est faux.
Ici, il suffit de se servir du polynôme caractéristique d'un matrice nilpotente, pour le début du moins. Mais je ne continue pas dans cette voie là avant de savoir si tu sais ce qu'est un polynôme caractéristique.
oui, justement je ne sais pas ce que c'est le polynome caractéristique !
En effet c'est une application n-linéaire ce qui est différent.
Pour le polynome caractéristique , avec la réduction de Jordan c'est évident .
Même avec la théorie des polynômes annulateurs c'est aussi faisable.
Je suppose que s'il ne connait pas les polynômes caractéristiques, il y a peu de chances qu'il connaisse les polynômes annulateurs...En quelle classe es-tu, fusionfroide ?
sinon, connais-tu le résultat suivant :
"toute matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux nuls", ou dans le cas contraire, te sens-tu capable de le démontrer ?
non je ne connais pas ce résultat ...
en fait je suis en prelière année de licence de physique ... on ne fait pas les maths dans le détail... on voit seulement les points importants.
Sais-tu quelque chose d'autres à propos des matrices nilpotentes que leur définition ?
Parce que si tu ne connais que la définition, je vois pas comment faire de manière simple.
oui, une matrice nilpotente c'est une matrice qui s'annule à partir d'une certaine puissance.
une indication s'il vous plait.
Tu cherche à résoudre quoi ,Pour ton problème , tu peut admettre le lemme de thorin , ou bien le justifier avec la réduction de Jordan ou bien le justifier de cette maniéré , ta matrice est nilpotente donc possède X^v où v est l'indice de nilpotence comme polynome annulateur , c'est d'ailleurs aussi le polynome minimal.
Le cours te dit aussi que ta matrice est trigonalisable puisque tu travaille dans un C ev et tu sait aussi que les racines de ton polynome annulateurs sont les valeurs propres possibles pour ta matrice , donc 0 .
Ainsi ta matrice est semblabe à une matrice triangulaire superieur dont les termes diagonaux sont nuls.Tu ecris ta formule changement de base A=PTP^(-1) , tu as donc |PTP^(-1)-I|=|T-I|=1
