Je ne comprends pas cette remarque. Tu dis plus haut, que PA est consistante puisque dans un modèle de ZF on peut trouver un modèle de PA, il me semble bien qu'il est nécessaire d'avoir un modèle de ZF pour que cette affirmation soit bien conclusive., Alors que je n'ai pas besoin de ZF pour affirmer que ({0}, +) est un modèle de la théorie des groupes.Envoyé par Ksilver
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
personellement, je ne vois pas de différence entre les deux. {0} est un ensemble, + une application de {0}*{0} dans {0} comment définit tu ces objets sans théorie des ensemble ?
la seul différence, c'est qu'on utilise en plus l'axiome de l'infini pour construire N alors qu'effectivement tu n'en à pas besoin pour montrer montrer la consistance de la theorie des groupe...
Sans aucun problème, il me semble que l'on a fait des maths bien avant ZF. Ce n'est pas parce que l'on dit le mot "ensemble" que l'on convoque ZF, pas plus que j'ai besoin d'un modèle de PA quand je dis que je vais écrire écrire s2(x) à la place de s(s(0)) (s est le successeur, bien sur). J'ai besoin de PA pour parler des entiers , je n'ai pas besoin de PA pour parler de 1, de 2 ou de 12654213215.
Pour parler de ({0}, +) en tant que groupe, je ne crois pas que j'ai besoin d'itérer sans fin l'axiome des parties, ou le schéma d'axiomes de compréhension.
Je suis Charlie.
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Ca constitue une limitation ?
En fait, j'en arrive à la conclusion, qu'il existe sans changer de modèle, une théorie, basée sur une ou d'autres propositions indécidables ajoutées à la théorie de Peano comme axiomes, et permettant de démontrer que telle équation diophantienne admet des solutions. Ces solutions ne pourraient alors qu'être incalculables un peu comme le nombre Omega de Chaitin, mais bon je m'avance un peu, là peut-être (je peux même me tromper complètement dans mon raisonnement).
Dernière modification par invite7863222222222 ; 30/10/2008 à 21h38.
"Sans aucun problème, il me semble que l'on a fait des maths bien avant ZF." >>> tous à fait, et à cette époque il utilisait N et ca ne serait vennu à l'esprit de personne d'imagine qu'il puisse ne pas exister....
tu reconnaitra quand meme que de savoir à partir de quand on à bessoin d'un cadre (j'entends par la d'une axiomatique) pour faire des maths est trés subjectif.
par exemple, si on admet l'existence d'un ensemble à un element et d'une application + sur cet ensemble sans ZF... est-ce que tu trouve que cela est raisonnable sans ce placer dans un cadre formel de prétendre pouvoir prouver le théorème qui dit que si une théorie admet un modèle alors elle est cohérente (dans le sens ou on ne peut pas prouver "faux" dans cette théorie...) ?
Je ne l'ai pas sous les yeux, mais je ne me souviens pas que Gödel est fait appel à ZF pour prouver ce théorème (à suivre).
Je suis Charlie.
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Pour préciser ce que je veux dire :(Il semble que les listes à puces marchent moins bien qu'avant
1) je n'ai rien contre ZF (c'est même tout le contraire), et je trouve magnifique que l'on puisse formaliser une très grande partie des mathématiques dans ce cadre (même si ce n'est pas la seule théorie avec cette prétention).
2) je suis bien d'accord que si on peut fabriquer un modèle d'une théorie à partir de ZF et bénéficier ainsi des théorèmes de ZF, il ne faut pas s'en priver.
3) un excès de formalisme peut tuer le formalisme :a) si un modèle d'une théorie est un ensemble de ZF, c'est à dire un élément de ZF, cela veut dire qu'un modèle de ZF est un élément d'un modèle de ZF et on tombe sur le mythe de la tortue qui porte le monde sur son dos
b) que veut dire un schéma d'axiomes (nécessaire pour ZF) puisque c'est un ensemble d'axiomes et qu'en définissant les ensembles, il me paraît difficile d'utiliser des ensembles (salut, la tortue)
)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Cordialement,
Par ailleurs, pour aller dans (ce que je crois être) le sens de Ksilver, les présentations de la théorie des modèles que j'ai eu l'occasion de lire parlent d'un modèle à partir de la théorie des ensembles. Par exemple (Darnière):
Du coup, lorsque je vois "modèle de ZF", j'entre automatiquement dans ma phase "je n'y comprends rien". Je n'arrive pas à y trouver un quelconque sens autre qu'une définition circulaire. (Ce qui n'est pas nécessairement un problème, il y a plein de définitions circulaires en physique par exemple. Mais ça n'a pas l'air d'être l'interprétation proposée.)Langage
On appelle ainsi un ensemble de symboles.
(...)
On appelle alors théorie (du 1er ordre) tout ensemble de formules (du 1er ordre) dans un langage donné.
(...)
Munir un ensemble E d'une L-structure
(...)
On dit qu'une structure E est modèle d'une théorie T, ou qu'elle satisfait T si (...)
Cordialement,
Mediat l'a deja dit, mais il existe une notion intuitive d'ensemble qu'on peut tout a fait utiliser en dehors de ZF. Tant que je peux definir correctement ce dont je parle il n'y a pas de probleme.
Comme il disait, je peux tres bien parler du groupe cyclique d'ordre 11 sans avoir besoin de ZF...
Quelle «définition correcte» donnes-tu de la notion intuitive d'ensemble ? Comment peut-on en établir les propriétés ? Quels sont les raisonnements licitement utilisables pour raisonner sur cette notion ?
C'est quoi «onze» ?
Cela revient à admettre que dans les textes cités il y a DEUX usages distincts du mot ensemble (un sens intuitif et un sens formalisé), sans que les deux usages ne soient définis ni la distinction clarifiée.
C'est une interprétation que je n'adopterais qu'avec réticence, en dernier ressort, parce que opposée à ce que je considère être la rigueur mathématique.
Ne serait-il pas choquant que des textes sur la logique, cherchant à rationaliser un maximum le discours, utilisent un mot clé de manière floue?
Cordialement,
Edit : Croisement avec GB. Mais les commentaires vont dans le même sens et se complètent.
C'etait une reponse rapide, mais dans ce cas, par exemple, je peux ximplement donner une liste de 11 symboles (sans avoir besoin de donner un sens mathematique a "11é, il suffit que je les donne) et une table de multiplication qui caracterise une operation binaire, designer un symbole comme etant l'element neutre, et verifier peniblement les axiomes de groupe.
Ni de 11, d'ailleurs.
Cette question n'est pas pertinente dans ce contexte, je n'ai pas besoin de définir onze pour considérer |a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k|.
La théorie des catégories, grande concurentes de ZF pour prétendre à fonder toutes les mathématiques, et même la logique, commence par :
Soit Ob un ensemble d'objets et Fl un ensemble de flèches.
Donc, d'après God's Breath la théorie des Catégories hors ZF n'existe pas puisqu'elle nécessite ZF.
Remplacer "Ensemble" par "Classe" ne change rien ou alors, si cela change tout, il n'y a qu'à dire classe à la place de "notion intuitive d'ensemble".
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
A part cela, pour être plus constructif...
On ne peut pas généraliser "juste comme ça" des exemples finis à l'infini, et encore moins à l'infini non dénombrable.
Il y a, pour moi, une difficulté dans les maths qui apparaît quand le discours porte sur des objets dont le cardinal est strictement plus grand que celui des formules possibles dans le discours.
Il ne sert à rien de me présenter des exemples finis, comme celui que tu prends, pour dissiper cette difficulté!
En d'autres termes, que l'on n'ait pas besoin de ZF pour traiter les cas finis ne me pose strictement aucun problème! Par contre, dès qu'il est question d'infini non dénombrable, je ne vois pas comment peut-on se passer d'une axiomatique...
Cordialement,
On peut employer le mot "ensemble" dans deux sens différents à deux conditions :
– le dire, et préciser dans chaque cas à quel sens on se réfère ;
– lorsqu'on l'emploie hors de ZF, dire quels ont les raisonnements licites sur cette notion.
Or je n'ai toujours pas d'éléments sur ce dernier point.
Si la théorie des catégories prétend fonder la logique, avec quoi raisonne-t-on sur la théorie des catégories ?
Quand j'utilise un ensemble à 11 éléments pour étudier le groupe cyclique d'ordre 11, je ne manipule pas cet ensemble en tant qu'ensemble ; que l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de cet ensemble existe ou non m'est complètement égal, je me préoccupe de ses éléments.
Google "Logique catégorique"
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
C'est possible.
Mais le ferais-tu que le discours serait exactement le même.
C'est bien pour moi la différence entre fini et infini : le fini est toujours interprétable par le lecteur (indépendamment des intentions de celui à l'origine du discours) comme une réécriture.
Cordialement,
Ce que j'ai trouvé ne fait que faire un tour de plus dans le cercle vicieux de la tortue qui porte le monde.
Un exemple pratique :
Dans ce document que j'ai épluché en détail : la forme des modèles non standard y est donnée, mais pas démontrée...Tu devrais lire mon document sur l'arithmétique.
La forme des modèles non standard y est démontré, et est cité (mais non démontré) le théorème de Tennenbaum qui dit que dans un modèle non standard l'addition et la multiplication ne peuvent être récursives (autrement dit on ne sait pas les définir).
De plus, on utilise les entiers «naïfs» : qui sont ils ? comment les utilise-ton ?
Un exemple parmi tant d'autres :
J'aimerai bien voir la preuve de ce qu'on obtient en appliquantsi
obtient :
Ce sont des entiers, ils sont finis. Toutes les opérations portants sur des entiers clairement bornés sont interprétables comme des réécritures.
Il n'y a donc pas de problème.
A mon sens, "naïf" et "formel" coïncident pour le fini, et critiquer l'usage "naïf" d'objets finis porte à faux.
ordialement,
Il y a autant de preuves que de couples (m, n) ; ah zut ! Pour parler de couples, il faut faire appel à ZF.J'aimerai bien voir la preuve de ce qu'on obtient en appliquant
Pour résumer : La théorie des catégories n'existe pas car nécessite un modèle de ZF qui n'existe pas, La topologie n'existe pas car nécessite un ensemble (donc ZF) plus un sous ensemble de l'ensemble de ses parties (et en plus c'est compliqué), donc la topologie n'existe pas, IR est un ensemble (A l'aide mes gueux, ZF attaque encore), aie ! l'analyse n'existe plus etc.
Le débat est clos, les maths n'existent pas.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Et moi qui pensait que l'on savait, depuis Aristote, que tout reposait sur argument d'autorité, «les mathématiques existent».
voici mon point de vue sur la question (j'y ai pas mal réfélchie apres mes cours de logique, mais je ne dois pas etre le seul ^^) qui comme son nom l'indique est entièrement subjectif et tres informel :
pour moi toute personnes qui fait des maths admet implicitement qu'il existe des "ensembles naif", c'est à dire des objets qui suive les régles donner par ZF...( en gros un modèle de ZF... sauf qu'à ce niveaux on ne peut pas parler de modèle...).
à partir de la on peut quand meme ce poser la question de la consistance de ZF (je crois en une notion naive de démonstration tous de meme...) mais on sait qu'on ne pourra à priori jammais y répondre ! si jammais ZF n'était pas consitante ca voudrait juste dire qu'il faut reformuler un peu ces régles de bases et recommencer ^^
mais on ne peut nier que Peano est coherent : il à un modèle que l'on utilise tous les jour qui est fromé des entier naif, je suis d'accord avec Mediat : on à pas bessoin de ZF pour parler de 1,2,11 ou 3452. la ou on à 'vraiment' bessoin de ZF c'est pour dire que N est un ensemble... mais d'un autre coté à ce niveaux je m'en fous de savoir si N est un ensemble on non, tous ce que je veux savoir c'est que ca existe !
pour moi la coherence de peano est un théorème au meme titre que le théorème de compacité, le th de complétude de godel ou le th de Lowenheim-skolem... c'est à dire un théorème qu'on sait prouver à partir de nos axiomes... donc finalement si ZF est coherent.
pour finir je soulève une derniere question à laquel je n'ai pas de réponse mais qui m'interesse assez (enfin... relativement, la logique c'est pas non plus mon domaine de prédilection ^^ ), c'est "peut-on construire un modèle de ZF à partir de peano".
il y a deux problème qui ce pose :
-d'abord peut-on construire un modèle de peano en ne prenant que des partie de N... et en plus on aimerait n'utiliser que des parties récursive (donc définisable par les axiomes peano si je me souviens bien ...) jusqu'à maintenant je n'ai vu dans ce cadre que des modèle de ZF privé de l'axiome de l'infinie.
-est-il possible de formaliser la théorie des modèles dans ZF ? ce n'est pas totalement absurde de penser cela puisque un modèle pourrait etre vu comme un ensemble recursif d'entier, qui peut donc (un des lemme de la preuve du th d'incompletude de godel si je ne me trompe) etre coder récursivement en un entier... et donc ce formaliser entièrement dans peano... il faut voir ensuite si dans un tel cadre on peut formaliser ce qu'est une théorie, une démonstration formelle et prouver qu'une théorie qui à un modèle est coherente...
je n'ai pas encore réfléchi beaucoup la dessus, ni chercher si des recherches plus sérieuses avaient été faites dans ce sens...
Je pense qu'il est impossible de faire des maths sans accepter l'existence de modèles pour les ensembles finis, pour la bonne et simple raison que les symboles utilisés pour le discours mathématiques sont un tel modèle (un modèle physique, concret, tangible). Et peut-on donner un sens à "faire des maths" qui exclurait toute communication, tout discours sur les maths?
Par contre l'existence d'un modèle de ZF (i.e., y inclus l'axiome de l'infini) ne me semble pas imposée de la même manière. Mais il me semble clair qu'accepter l'hypothèse de l'existence d'un tel modèle est un pré-requis à toutes les mathématiques non finies, en particulier transfinies ou continues.
J'ai une difficulté sur ce point : si j'accepte que la notion de modèle est un ensemble structuré, et que la notion d'ensemble au sens naïf ne s'applique qu'aux ensembles dont la composition est explicite, donc finie, je ne peux accepter N (qui n'est pas un ensemble au sens naïf) comme modèle qu'en acceptant que c'est un ensemble au sens non naïf, donc une axiomatique de la théorie des ensembles.mais on ne peut nier que Peano est coherent : il à un modèle que l'on utilise tous les jour qui est fromé des entier naif
la ou on à 'vraiment' bessoin de ZF c'est pour dire que N est un ensemble... mais d'un autre coté à ce niveaux je m'en fous de savoir si N est un ensemble on non, tous ce que je veux savoir c'est que ca existe !
Cordialement,
Les entiers naifs satisfont le shéma d'axiome de récurrence ?
Oui, tant que appliques le résultat à des entiers particuliers. Non quand tu considères le résultat comme celui "pour tous les entiers".
C'est la différence entre "prends un entier, et tu verras que le résultat de la démonstration par récurrence est correct" et "prends tous les entiers les uns après les autres et, une fois que tu auras fini, tu auras vu que c'est correct pour tous les entiers".
Cordialement,
Si je prends une formule
Pour moi, vérifier que
Mais nous n'avons peut-être pas la même notion d'interprétation d'une formule, c'est pourquoi je réclame depuis un moment que l'on me dise quelle est la définition précise des entiers naïfs, et les modes de raisonnement licites dont ils peuvent faire l'objet.
Tout le monde me dit que l'on n'a pas besoin de ZF pour parler de 1, 2 11, ou 3452, je veux bien le croire, mais je n'ai été présenté à ces gens, et je ne connais pas le protocole qui régis leur comportement : je ne peux donc même pas utiliser le «prends un entier, et tu verras que le résultat de la démonstration par récurrence est correct», puisque je ne sais pas ce qu'est une démonstration sur ces choses-là.
Ou alors le fondement de la logique et des mathématiques ne consiste qu'en rumeur : «tout le monde sait bien que...».
Auquel cas j'aurais tendance à considérer que "non, l'axiome de récurrence n'est pas vérifié par 'les entiers naïfs' ".Pour moi, vérifier que
Disons que j'en propose deux là où tu n'en proposes qu'une!Mais nous n'avons peut-être pas la même notion d'interprétation d'une formule,
Je propose : un entier naïf est le cardinal d'un ensemble tangible, perceptible par les sens. Par exemple le nombre de } fermantes consécutives à la fin dec'est pourquoi je réclame depuis un moment que l'on me dise quelle est la définition précise des entiers naïfs
est un entier naïf.
Les entiers naïfs sont les entiers dont on peut faire une théorie selon la méthodologie de la physique., et les modes de raisonnement licites dont ils peuvent faire l'objet.
Que vois-tu comme fondement de la physique?Ou alors le fondement de la logique et des mathématiques ne consiste qu'en rumeur : «tout le monde sait bien que...».
Cordialement,
PS: Les maths finies sont si "physiques" qu'elles sont la base d'une technologie particulière : un type de machine dont le succès récent n'est pas à démontrer, les calculateurs discrets, aka ordinateurs.
Troublant/amusant/curieux : je viens de réaliser que les deux interprétations de
Est-ce que cette distinction a été développée par quelque logicien? Ou est-ce du domaine du jeu de mots?
Cordialement,
Personnellement, je dirais comme cela intuitivement qu'avec les entiers 'naifs' et sans utiliser le symbole "pour tout" lorsque l'"ensemble du modèle" est infini, on peut arriver à démontrer les mêmes résultats de logique : par exemple, l'indécidabilité de PA.
