Périodicité

[invite11568c71]

Bonjour,

Quelle est la méthode pour trouver la période d'une expression du type ?

Merci !
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[Bleyblue]

salut,

tu peux utiliser le résultat suivant :

Si f et g sont des fonctions périodiques non constantes dont le rapport des périodes est rationnel alors f + g et fg sont prériodiques, de période le ppcm de f et g

Donc dans ton cas ça donne des périodes de 2pi et pi donc ta fonction est 2pi périodique

Maintenant si le rapport des périodes n'est pas rationnel, peut on en conclure que la fonction n'est pas périodique ??

[invite11568c71]

Très intéressant comme résultat !
Ca se démontre facilement ?

Comme explique-t-on cela en secondaire ?

Pour votre dernière question je n'en ai aucune idée..
Intuitivement j'aurai tendance à répondre que non.

[invite57a1e779]

tu peux utiliser le résultat suivant :

Si f et g sont des fonctions périodiques non constantes dont le rapport des périodes est rationnel alors f + g et fg sont prériodiques, de période le ppcm de f et g

Je dirais plutôt : ... f + g et fg sont périodiques, et une période est le ppcm des périodes de f et g.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Oups oui désolé erreur de ma part

Sinon ça se démontre ainsi :

f de période T1, g de période T2
T1/T2 = a/b (avec a et b des entiers non nuls) alors bT1 = aT2 alors tu vois qu'une période de fg et de f + g est donnée par bT1 (ou aT2)

D'autre part si tu prends le ppcm de T1 et T2 tu vérifies que c'est une période de fg et de f + g aussi (et c'est d'office un mutliple entier de la périoe de fg et f + g vu que si h est périodique de période T et que h(x + T') = h(x) alors T' est un multiple entier de T)

[invite11568c71]

"alors tu vois qu'une période de fg et de f + g est donnée par bT1 (ou aT2)"

-> Je vois pas désolé

"D'autre part si tu prends le ppcm de T1 et T2 tu vérifies que c'est une période de fg et de f + g aussi (et c'est d'office un mutliple entier de la périoe de fg et f + g vu que si h est périodique de période T et que h(x + T') = h(x) alors T' est un multiple entier de T)"

-> car h étant de période T, T est le plus petit entier vérifiant h(x+T) = h(x) c'est bien ca ?

Merci.

[Bleyblue]

Donc :

(f + g)(x + bT1) = f(x + bT1) + g(x + bT1) = f(x + bT1) + g(x + aT2) = f(x) + g(x) (vu que T1 est la période de f, b entier, et de même T2 est la période de g, a entier)

et c'est pareil pour f.g

car h étant de période T, T est le plus petit entier vérifiant h(x+T) = h(x) c'est bien ca ?

Pas spécialement entier, mais le plus petit réel positif.
Or si tu supposes que h(x + T') = h(x) et que T' n'est pas un multiple entier de T alors il existe forcément K entier tel que

T' - KT = x ou 0 < x < T et du coup x serait aussi une période, avec x < T.

[invite11568c71]

Ok merci beaucoup !