Polynome

[anouar437]

slt tt le monde
la question c cherché les polynome non constant dévivisble par leur dérivée i.e
cherché les P tel que P'/P .
j'ai une idée
puisk P non constan donc deg(P)>=1
on doit cherché les P tel que il existe Q qui verifie P=QP'
dapré ça on a deg(P)=deg(Q°)+deg(P')=deg(Q°) +[deg(P) - 1] ==>> deg(Q)=1 ==> Q=ax+b avec a non nul
P/P'=Q (P' non nul car P non constant) ==> P'/P= 1/ax+b
peut étre il faut integré..
mais si on met ln( | P| ) = 1/a( ln (ax+b)) la valeur absoulu n'est pas défini sur l'anneau des polynommes
merci d'avance
-----

[MMu]

On doit avoir . Manifestement tout polynôme de degré satisfait .
Considérons donc , le polynôme étant sur un corps commutatif.
Montrons que le polynôme est de la forme . On raisonne par récurrence .
On montre d'abord que pour on doit avoir .
Soit , donc .
De on déduit .
On doit donc avoir et finalement ...

[ericcc]

MMU, ça tombe un peu du ciel, non ?
Pour continuer le raisonnement d'Anouar, on cherche à résoudre l'équation différentielle y'/y=1/ax+b, donc en intégrant ln(y)=ln(ax+b)/a+K, donc
y=K(ax+b)^n, et on revient sur ta solution.

[Thorin]

Mais MMu est plus propre : comment es-tu sûr que y'/y est défini en tout point ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

Sinon, si on connait la décomposition en éléments simples de .

On a
Mais de manière évidente, par identification,

ainsi,
.
Par unicité de la Décomposition en éléments simples, b est racine de multiplicité n de P.
Ainsi,

[God's Breath]

Sinon, si on connait la décomposition en éléments simples de .

On a
Mais de manière évidente, par identification,

ainsi,
.
Par unicité de la Décomposition en éléments simples, b est racine de multiplicité n de P.
Ainsi,

Je ne comprends pas bien ton raisonnement : tu montres que , divisible par avec le quotient , et le polynôme ont même décomposition en éléments simples. Comment utilises-tu l'unicité de cette décomposition pour en déduire que et sont proportionnels ?

[Thorin]

Je dis que comme , et que b est racine de P, b est racine de multiplicité n de P.
En effet, si b n'était pas racine de multiplicité n, alors, il existerait au moins une autre racine distincte de b , et on aurait donc

Et dans ce cas, égalisant les expressions :

donc

donc


Et on a alors b qui est un pôle du membre de droite sans être un pôle du membre de gauche.

Ca marche pas ?

[anouar437]

bonjour tt le monde
désolé j'ai pa bien compris j'ai 2 remarque
1: pr répondre a MMu, la question c'est de chercher les P verifion la P'/P alors que vous, vous avez proposé les P de la forme
a(x+b)^n qui nous assure que c'est la seule forme qui verifi la proprité ???
2: je ne vois pas le passage de P'=a_0 P'+a_0(x+b_0)P'' vers P'=a_1(x+b_1)^n

mr ericc
SVP est ce que qu'on peut parler de ln(P) si P une polynome non pa une fonction polynomial

[God's Breath]

En effet, si b n'était pas racine de multiplicité n, alors, il existerait au moins une autre racine distincte de b

L'élément de a une seule racine, , qui n'est pas de multiplicité 3...

[Thorin]

Je compte les racines complexes aussi, moi.

[ericcc]

Mais MMu est plus propre : comment es-tu sûr que y'/y est défini en tout point ?

Je n'ai pas de problème avec l'approche de MMu, mais ma méthode permet d'intuiter la solution. Ensuite on fait la récurrence...

[God's Breath]

Je compte les racines complexes aussi, moi.

On ne nous a pas dit sur quel corps on travaillait...

[Thorin]

Même si le résultat qu'on souhaite obtenir est dans R, j'ai quand même le droit de considérer que le polynôme est scindé dans C, ce qui m'intéresse étant que si on a un polynôme P de degré n tel que P'/P=n/(x-b), et b racine de P, on peut dire que b est racine de multiplicité n de ce polynôme, il me semble, en vertu de l'égalité :
soient p racines distinctes de P de multiplicités respectives , alors :


J'ai tort ? on ne peut pas identifier ?

[God's Breath]

J'ai tort ? on ne peut pas identifier ?

Ton raisonnement est valable tant que les coefficients appartiennent à un sous-corps de . Mais on pourrait imaginer que l'on est dans avec un corps «plus gros» que , voire un corps de caractéristique non nulle, tel ( premier...), auquel cas le raisonnement de MMu ne vaut plus, puisqu'il suppose que est de degré , et qu'il divise par , élément non nécessairement inversible...

En fait, je chipote un peu. Mais il faut se rendre compte que ton raisonnement suppose que le polynôme soit scindé, ce qui peut nécessiter de changer de corps (est-ce toujours possible ?), donc que ton raisonnement ne fonctionne pas avec la même généralité que celui de MMu, qui suppose seulement que le corps de base est de caractéristique nulle.

[Thorin]

Ok.
La faute à l'énoncé (ou à son recopiage) qui est flou !

[God's Breath]

En même temps, l'auteur envisage un calcul de primitive à coup de logarithme, donc se place implicitement sur le corps des réels... c'est du moins ce que tout le monde a compris.

[anouar437]

désolé je n'ai pa précisé le cors ici on travail dans R[x]
si on pose P=(ax+b)^n avec a<>0 (P'=n(ax+b)^(n-1))
P = 1/n(ax+b).P' n=deg(P)>=1 (a,b) dans R*xR
donc P'/P
mais le problème c'est est ce que tt les polynome qui verifié P'/P sont de cette forme ??

[Thorin]

Tu as environ 3 démonstrations dans la page qui le prouvent...

[anouar437]

merci bcp pr votre attention bah voila un autre problème
on supose que Z/pZ un anneau commutatif
il s'agit de montrer l'équivalence: Z/pZ corps <==> p premier
j'ai une idée
montrons ce sens =>]
par contraposé( si on arrive à monter que si p est non premier alors Z/pZ n'est pas un corps sera fini pr ce sens la) si p et non premier alors il existe p1 <> 1,p tel que p=q.p1 ( 0<p1<p) *
q est non null si nn p=0( on verra l'interet de cett remarque...)
(p1)" appartien à {2",3",...,(p-1)"} ( " signifie classe d'un élémen)
il suffit de montrer que p1 n'admet pas d'inverse pour dire que Z/pZ n'est pas un corps
par l'absurde
si il existe x" inverse de p1" alors (p1)".x"=1"
d'après * p"=0"=(q.p1)"=q".p1"
on multipli par x" à droite on aurra 0".x"=0"=(q".p1" ).x"=q".(p1" .x")=q".1"=q" ==> q"=0"
donc q= kp et puisk q et forcemen < p donc q"=0" ==> q=0 absurde
d'ou p1 est non inversible d'ou Z/pZ n'est pas un corps
j'attends avec plaisir votre reaction
et aussi il faut montrer l'autre sens

[Thorin]

Pour l'autre côté :

supposons p premier.
soit k" non nul dans Z/pZ.

comme p est premier, il est en particulier premier avec k.
D'après Bezout, il existe (u,v) tel que ku+pv=1, donc, tel que ku-1=pv, donc, tel que (ku-1)"=0", donc tel quel k"u"=1"
CQFD.

[invite80487107]

très bien CQFD et pr l'autr sens c juste a ton avis ?? ta pa une remarque ??

[Thorin]

Et bien si tu veux une remarque, je dirais juste que je préférerais plutôt faire un raisonnement direct que de passer par un raisonnement par l'absurde imbriqué dans une contraposée...
supposons que Z/pZ est un corps, alors,
Soit k non nul, k est inversible,
donc, il existe n et m tels que kn+pm=1
donc k premier avec p
Donc, p est premier avec tous les entiers non nuls qui lui sont inférieurs.
Donc p est premier.

(et de cette manière, on peut raisonner par équivalence simplement, me semble-t-il)