Espace vectoriel et dénombrement

[Bilionne]

Bonjour, je voudrais que quelqu'un vérifie l'exactitude de mes réponses et m'aider pour la suite.

Dans cet exercice, on désigne par P_n l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à n. Celui-ci est rapporté dans toute la suite à sa base canonique (e₀, e₁,...,e_n) définie par e₀(x)=1, e₁(x)=x,...,e_n(x)=xⁿ
On désigne par a un nombre entier fixé, et l'on définit, pour toute fonction polynôme P appartenant à P_n la fonction T_aP : T_aP(x)=P(x+a).

Déterminer la matrice M₁ de l'endomorphisme T₁ dans la base canonique de P_n.
J'ai trouvé M₁ = des 1 sur la 1e ligne et des 1 sur la diagonale, le reste est nul.

Etant donnés des nombres entiers a,b, déterminer les endomorphismes composés T_aoT_b et T_boT_a, et en déduire que (T_a)^-1=T_-a .
Je ne vois pas comment faire.

Merci
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[invitec317278e]

La matrice que tu as trouvé signifie que , ce qui est pour le moins étrange.

[invite57a1e779]

La matrice que tu as trouvé signifie que , ce qui est pour le moins étrange.

Si seulement, ce qui est très curieux... pour , pourrait avoir une autre valeur !

[Bilionne]

Si on cherche la matrice M_a, T_a(e₀)(x)=1, T_a(e₁)(x)=x+a, ... , T_a(e_n)(x)=(x+a)ⁿ ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Si on cherche la matrice M_a, T_a(e₀)(x)=1, T_a(e₁)(x)=x+a, ... , T_a(e_n)(x)=(x+a)ⁿ ??

Tout ceci est très bien, mais comment comment s'en sert-on pour écrire la matrice ?

[Bilionne]

On peut écrire que les 1eres colonnes mais difficile d'écrire les dernières ! on sait juste que la matrice est triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale.

[invite57a1e779]

Et la formule du binôme de Newton ?

[Bilionne]

Oui, mais comment la met-on dans la matrice ?

[Bilionne]

ah si c'est les coefficients !!

[invitec317278e]

On remplit colonne par colonne.
On se place sur une colonne fixée, alors, le coefficient de la ligne i est le coefficient accompagnant le monôme de degré i-1 dans le développement de la formule du binôme.

Edit : voilà, t'as trouvé !

[Bilionne]

Pouvez-vous m'aider pour les endomorphismes composés ?

[invite57a1e779]

Il suffit de l'écrire :
Si et , alors et .
Qui est ? Comment s'exprime-t-il en fonction de ?

[Bilionne]

T_aoT_b=T_boT_a ?

[Bilionne]

Une autre question svp :

Etant donnés deux nombres entiers naturels p et n , on désigne par s(p,n) le nombre des surjections d'un ensemble à p éléments vers un ensemble à n éléments.
Prouver enfin la formule suivante : n^p=somme de k=0 à n (k parmi n)*s(p,k) C'est bon !

En déduire l'expression de la matrice ligne [s(p,0), s(p,1),...,s(p,n)].M₁ , puis donner l'expression de s(p,n) en fonction de p et de n .

J'ai trouvé comme matrice [0 1 2^p ... n^p] grâce à la formule. Mais je ne vois pas comment trouver s(p,n) !

[Bilionne]

Où êtes-vous ??