Plus proche point de n droites

[oli1978]

Bonjour,

Je cherche a determiner le point 3D le plus proche d'un ensemble de n droites de l'espace. A priori, je definirais ca mathematiquement comme un probleme d'optimisation sans contraintes :



Il faut donc deriver et annuler pour le resoudre.
Est ce que quelqu'un l'aurait deja fait ?

D'avance merci.

Si je trouve la solution, je vous la mets ...
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[oli1978]

Je me permets de faire remonter le topic ...

[shokin]

Que veux-tu dire par "le plus proche d'un ensemble de n droites" ?

celui dont la somme des distances avec les droites est la plus petite ?

mouais, comment faire ? d'abord trouver la formule qui définit la distance d'un point à une droite dans l'espace.

Shokin

[Jeanpaul]

Il me semble que le problème pourrait être considérablement simplifié à 2 conditions :
1) Définir les droites à partir d'un point Ai et d'un vecteur unitaire Ui.
2) Prendre non pas la somme des distances mais la somme des carrés des distances (si c'est possible !).
On voir alors assez facilement que le carré de la distance de M à la droite (Ai , Ui) vaut :
AiM² - (AiM.Ui)² (théorème de Pythagore)
Si l'on suppose être au minimum, alors bouger de dM ne fera pas varier la somme des carrés, ce qui se développe comme la somme des :
2 AiM.dM - 2 (AiM.Ui)(Ui.dM), somme qui doit valoir 0.
assez facile à écrire en fonction des coordonnées de M et des composantes de dM. On annule les 3 coefficients de dx, dy et dz, composantes de dM.

[A voir en vidéo sur Futura]

[oli1978]

Il me semble que le problème pourrait être considérablement simplifié à 2 conditions :
1) Définir les droites à partir d'un point Ai et d'un vecteur unitaire Ui.
2) Prendre non pas la somme des distances mais la somme des carrés des distances (si c'est possible !).
On voir alors assez facilement que le carré de la distance de M à la droite (Ai , Ui) vaut :
AiM² - (AiM.Ui)² (théorème de Pythagore)
Si l'on suppose être au minimum, alors bouger de dM ne fera pas varier la somme des carrés, ce qui se développe comme la somme des :
2 AiM.dM - 2 (AiM.Ui)(Ui.dM), somme qui doit valoir 0.
assez facile à écrire en fonction des coordonnées de M et des composantes de dM. On annule les 3 coefficients de dx, dy et dz, composantes de dM.

Bonjour et merci pour ta reponse.
Juste qques questions :

1. AiM.Ui, c'est un produit scalaire j'imagine ?
2. je comprends pas la suite avec les dM. Cela dit, a partir de la premiere formule, je dois pouvoir minimiser ca ...

PS : j'utilise justement un representation poit+vecteur pour mes droites ...

[Jeanpaul]

Oui, c'est bien un produit scalaire (il faut faire la somme sur les i aussi).
dM est un vecteur de composantes dx, dy, dz mais tu peux raisonner sur les composantes, c'est plus lourd à écrire mais ça change peu de choses.
Tu verras aussi qu'il est astucieux de prendre l'origine au centre de gravité des points Ai, ça allège l'écriture.