Etude d'une fontion

[invite315859bc]

Salut le monde !

J'ai du mal à continuer mon exercice. Je sais que quelque soit x réel, 1+x<=e^x. Je dois en déduire que quelque soit x de ]0;1[, e^x < 1/(1-x). Je pense à étudier les variations de la fonction f(x)= 1/(1-x) - e^x. Pouvez-vous me mettre sur une bonne piste ?

Merci d'avance
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Si l'inégalité est vraie pour réel alors l'inégalité est aussi vraie pour réel.

[invite315859bc]

Merci Flyingsquirrel
Je donc pense qu'il faut faire:

1-x<=e^(-x)
1/(1-x)>=1/e^(-x)
1/(1-x)>=e^x

Est-ce correct ?

[Flyingsquirrel]

Est-ce correct ?

Oui mais il faudrait préciser que (sinon on ne peut pas passer de la première inégalité à la seconde comme tu l'as fait).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Et puis il faut aussi écarter la/les valeur(s) de telle(s) que puisque l'inégalité à montrer est une inégalité stricte.

[invite315859bc]

merci pour ta réponse.

donc:

1/(1-x)=e^x lorsque:
e^x-xe^x-1=0 ou 1-x=0
donc x=0 mais je n'arrive pas à résoudre ma première équation...

Au final, je sais que je devrais trouvrer, comme l'a indiqué la consique: x appartient à ]0;1[.

Pouvez-vous m'aider ?

merci

[Flyingsquirrel]

Tu as montré que pour et que pour .

Si l'on prend , les deux conditions et sont satisfaites donc et ce qui peut encore s'écrire . On a montré que l'inégalité est valable sur mais aussi sur . C'est peut-être cela qui te gène ?

[Flyingsquirrel]

Je lis décidément trop vite, désolé.

1/(1-x)=e^x lorsque:
e^x-xe^x-1=0 ou 1-x=0
donc x=0 mais je n'arrive pas à résoudre ma première équation...

Je ne comprends pas d'où sort l'équation , ce serait plutôt puisque 1 annule le dénominateur de . L'équation à résoudre est soit . Pour ce faire, on peut étudier la fonction (c'est très rapide).

[invite315859bc]

J'ai étudier la fontion f(x)=(1-x)e^x sur [0;1] et j'ai trouvé que cette fontion est décroissante sur cet interval et que f(0)=1 et f(1)=0. Donc cette fonction donne 1 lorsque x=0. De plus, comme on l'a vu avant, x est différent de 1. Donc e^x < 1/(1-x) lorsque x appartient à ]0,1[.

Maintenant, il faut que je montre que pour tout nombre naturel différent de 0:



Et là, je ne sais pas comment démarrer
Pouvez-vous me donner des indices ?

merci

[Flyingsquirrel]

Maintenant, il faut que je montre que pour tout nombre naturel différent de 0:



Et là, je ne sais pas comment démarrer
Pouvez-vous me donner des indices ?

Et si l'on se servait des deux inégalités et ?

[invite315859bc]

A part ce que j'ai écris dans mon image, je ne vois pas ce que je peux faire ...

[Flyingsquirrel]

L'inégalité est valable pour tout donc en particulier pour où est un entier naturel. On obtient alors ... on n'est plus très loin de .

Pour prouver il faudra utiliser l'inégalité de la même manière.

Pour écrire les formules tu peux utiliser LaTeX (voir http://forums.futura-sciences.com/fo...e-demploi.html).

[invite315859bc]

1+ e
1+ e

Pour la 2ème equation, je mets en exposant les 2 membres de l'inéquation et je trouve l'inégalité que je veux trouver !

Merci beaucoup Flyingsquirrel !! écureuil volant ?!