Série numérique

[invite292e91f0]

Bonjour =)

J'ai un petit soucis avec une série numérique que je dois calculer, et j'aurais voulu savoir si l'un (ou plusieurs, je ne recherche pas l'unicité ^^) d'entre vous pourrait me donner une piste...
Voilà la bébête :



Jusque là, j'ai essayé de trouver une forme générale pour les sommes partielles. En posant :

,

en calculant les trois premiers termes (ça devient vite énorme) et en tatonnant, j'ai eu l'impression que :


Bon, à présent il faudrait que je vérifie ça par récurrence... J'ai vaguement commencé, et je galère déjà - je n'ai pas eu beaucoup de temps dispo -, mais au-delà de ça, je ne sais même pas si cette formule pourra me servir ! C'est bien joli d'avoir un terme général, mais il est défini par récurrence, alors pour faire la limite... J'ai un peu peur que ce ne soit très dur.
Pour info, l'an dernier j'ai fait les séries numériques, mais on a surtout fait des études de convergence, donc je n'ai pas trop l'habitude de ce genre de problèmes.
Si ça se trouve, je suis complètement à côté de la plaque

Hum... Si quelqu'un pouvait me donner un petit coup de pouce, donc...
Merci beaucoup !
-----

[invite292e91f0]

Bonjour,
Je me permets de faire remonter ce sujet, j'espère que cela ne dérange pas...
Je n'ai pas eu beaucoup de temps pour réfléchir à ce problème, mais en tout cas, aucune idée ne m'est venue. Sauf que je pense de plus en plus que la formule que j'ai trouvée ne me servira à rien.

Personne n'aurait un petit coup de pouce à me donner ?

[inviteaf1870ed]

Le dénominateur est il 4⁽²ⁿ⁺¹⁾ou 4²ⁿ+1 ?

[breukin]

Tel qu'écrit, il semble être 1+4^p, avec p=2ⁿ.
Et alors je doute qu'on puisse trouver une somme explicite, même si la série est rapidement convergente.
A moins qu'on soit dans des séries à la Ramanujuan.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite292e91f0]

Bonsoir !
C'est bien tel que l'a écrit Breukin,
Le prof m'a dit que cette série était effectivement difficile, mais elle n'est pas incalculable puisque je dois justement la calculer... ^^'
Une idée ?
Je ne connais pas ces séries de Ramanujuan, je vais me renseigner.

Merci de m'avoir répondu, déjà

[inviteaf1870ed]

Je ne vois pas trop : les premiers dénominateurs sont 5,17,257...beurk

[breukin]

J'ai dit des séries "à la" Ramanujuan, pas "de" Ramanujuan.
Ramanujuan était un mathématiciens indien qui a découvert plein de formules sommatoires délirantes dont on se demande comment on peut les démontrer.

[invite292e91f0]

Je ne vois pas trop : les premiers dénominateurs sont 5,17,257...beurk

Je bloque au même endroit ^^' C'est pour cela que j'ai essayé de trouver une formule générale...

J'ai dit des séries "à la" Ramanujuan, pas "de" Ramanujuan.
Ramanujuan était un mathématiciens indien qui a découvert plein de formules sommatoires délirantes dont on se demande comment on peut les démontrer.

Oups, désolé pour la confusion...

Du coup, pas d'idée ?
C'est frustrant, j'aimerais bien réussir à résoudre ce problème, même avec de l'aide, et même si je n'y arrive qu'après l'échéance de mon devoir...
Si quelqu'un a une idée qui pourrait me faire avancer... Je suis preneur !

[breukin]

Non, pas d'idée, je suis quasi certain que votre prof se gourre, ou alors que vous avez mal noté le dénominateur.
Il n'y a aucun contexte dans cet exercice ? Qui permettrait d'en déduire une méthode ?

Remarque : votre formule que vous vouliez démontrer par récurrence est nécessairement fausse. Passez à la limite pour voir ce que ça impliquerait.

[invite292e91f0]

Bonsoir,
Désolé pour le délai, pour commencer, et merci pour votre réponse.
Pour la formule que j'avais trouvée, j'aimerais bien passer à la limite, mais je ne suis malheureusement pas très doué dans ce domaine (oui, je sais, il va falloir que ça change ^^").
Bref, je ne pense pas que le prof se soit trompé, il nous a parlé plusieurs fois de cet exo, je pense qu'il s'en serait rendu compte... Et quant au dénominateur, il est bien tel qu'il est sur mon exercice. Par contre, pas de contexte, on me demande juste de calculer cette série. J'ai momentanément abandonné ce problème après une courte discussion avec le prof, mais je compte bien le résoudre un jour ou l'autre, avec son aide s'il le faut. Et lorsque j'aurai une solution ou un début de solution, je viendrai vous en faire part, on ne sait jamais, ça peut intéresser quelqu'un ^^

[breukin]

Votre formule de récurrence est plus qu'évidemment fausse, il suffit de simplifier par 2ⁿ l'expression équivalente :

2^2n–2/S_n–1² – 2ⁿ/S_n–1 + 2 = 2ⁿ/S_n

et de passer à la limite S_n–1 = S_n = S.

Je serais vous, j'exigerais la solution immédiatement.
Il n'y a vraiment aucune indication dans cet exercice ? S'agit-il vraiment de trouver la somme ? Ou de simplement prouver la convergence ?

[invited7624597]

Je ne me rappelle plus trop du cours, mais il faudrait d'abord prouver que la série converge avant de vouloir trouver son expression, non ?
J'imagine qu'elle converge sinon, il n'y a pas trop d'intérêt.

[invite292e91f0]

Bonsoir,
Merci encore pour vos réponses.

Votre formule de récurrence est plus qu'évidemment fausse, il suffit de simplifier par 2n l'expression équivalente :

22n–2/Sn–12 – 2n/Sn–1 + 2 = 2n/Sn

et de passer à la limite Sn–1 = Sn = S.

Effectivement, ma formule est probablement fausse... Je ne sais pas si je l'ai mal copiée de mon brouillon (je n'arrive plus à remettre la main dessus ) ou si elle était fausse depuis le départ...

Sinon, l'exercice était clairement de calculer la somme, aucun résultat de convergence n'était demandé.

Bref, bonne nouvelle : j'ai la solution ! (Cela dit, je ne vois pas de quel droit j'aurais pu l'exiger... ^^")
Je mets en spoil, si jamais certains veulent se creuser la tête... En sachant que ce calcul ne demande que des notions élémentaires

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Rappel : On cherche à calculer . Commençons par faire la décomposition en éléments simples suivante : , puis écrivons : .
En remplaçant X par dans cette formule et en multipliant par , on obtient : ce que l'on peut écrire, pour simplifier la lecture : . Pour finir, par téléscopage, on obtient

[breukin]

Regardez votre série dans votre premier message...

[invite292e91f0]

Oooow quel boulet
Je suis vraiment désolé pour cette erreur idiote !
N'auriez pas un sac pour me cacher le visage ?

Et toutes les fois où je suis passé sans voir ça...

[breukin]

Si la série avait été correcte, sans doute n'aurais-je pas trouvé la démonstration, mais le calcul numérique avec 6 termes aurait conduit à la certitude que la réponse devais être 1/3.