DM : suites et ensembles

[invitea7fbb5b4]

bonjour !

J'ai un dm à rendre ce lundi, et j'ai des soucis concernant une question que voici:

soit Ea l'ensemble tel que pour tout n et avec a€R*-{1} et Ea={ (Un) n€N, U indice (n+1) = aUn + n}

et la question consiste à montrer que Ea contient une et une seule suite arithmétique, que l'on notera (Alpha indice n) n€n, puis donner son premier terme et sa raison .

Alors, pour le moment je suis partie du principe que cette suite existait donc Un+1=Un+r avec r la raison et j'en ai déduit que Un=(1-r)/(1-a)
mais ça ne m'avance pas à grand chose puisque je ne connais pas r ...
Merci d'avance pour l'aide apportée!
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[invited5b2473a]

Que vaut Un à l'infini?

[invitec0495d9e]

Salut à tous!

Mon petit ami est docteur en math et il aime ça, je lui ais demandé la réponse a ta question.
Voici ce qu'il a répondu :

1.a) uo<u1 ==> f(uo)<f(u1), car f est croissante

f(uo)<f(u1) ==> u1=f(uo)<u2=f(u1)

1.b) si un-1<un ==> f(un-1)<f(un), car f est croissante

==> un=f(un-1) < f(un)=un+1

1.c) pr tt n, un < un+1 ==> un est croissante

J espère que tu as compris, car je peux rien faire pour t'aider je fais des études médicales

[invitec0495d9e]

je me suis trompé de forum excuse moi !

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb2b7aebd]

Bonjour
Je crois pas que tu trouvera meilleur comme forum,,
pour repondre à ta question, ......
tu applique la définition d une suite arithmetique
>>> il existe r tel que U(n+1)=Un +r
l'ensemble E(a) s'il contient une serie arithmetique alors,, on aura
U(n+1)=Un +r
U(n+1)=a*Un +n
c est à dire on trouve une expression de Un
Un +r=a*Un +n quelque soit n
Un=(n-r)/(1-a)
cette expression doit etre verifier pour trouver la valeur de r
supposons que Un=(n-r)/(1-a) quelque soit n
alors U(n+1)=(n+1-r)/(1-a)=a*Un+n=a*(n-r)/(1-a)+n=(an-ar+n-an)/(1-a)=(n-ar)/(1-a)
---->1-r=-ar
r=1/(1-a)

Un est la suite arithmetique de raison r=1/(1-a)

[invite9c9b9968]

Bonjour,

Un est la suite arithmetique de raison r=1/(1-a)

Ca ne suffit pas, en l'etat l'exercice n'est toujours pas resolu car :

_ qu'en est-il de U₀ ? Est-il unique ou existe-t-il plusieurs U₀ qui conviendraient ?

_ il reste a verifier que la suite trouvee convient bien ! Car pour l'instant on a fait le raisonnement suivant : "supposons la conclusion verifiee alors blablabla". On a aboutit a une expression en supposant l'existence de la suite, il faut verifier que ladite expression est valide, car apres tout il pourrait bien n'exister aucune suite arithmetique dans l'ensemble E_a

[acx01b]

salut

je ne vois pas trop l'histoire du "trouver le premier terme de la suite" dans l'énnoncer, est-ce qu'il manque quelque chose ?

si il n'y a qu'un seul premier terme pour lequel la suite est arithmétique alors je ne vois pas bien comment on pourra montrer que la suite est arithmétique, et à l'inverse si elle est arithmétique alors n'importe quel premier terme marchera ...

à moins qu'ils ne demandent simplement de dire que le premier terme est u(0)

[invite9c9b9968]

et à l'inverse si elle est arithmétique alors n'importe quel premier terme marchera

Je te rappelle qu'on te demande de montrer l'unicite de cette suite arithmetique, donc necessairement il ne peut y avoir qu'un seul premier terme possible puisque A premiers termes differents = A suites differentes

[inviteaf1870ed]

Puisque Un est arithmétique, alors Un=U0+nr, on en déduit facilement la valeur de U0=1/(a-1)². La suite Un est donc unique (on connait sa raison et son premier terme)

Réciproquement la suite ainsi définie appartient à l'ensemble E.

QED

[invite9c9b9968]

Bonjour,

J'invite l'auteur de ce fil a faire bien attention au dernier message d'ericcc :

U0=1/(a-1)².

Ceci est necessaire pour l'unicite.

Réciproquement la suite ainsi définie appartient à l'ensemble E.

Cette verification est essentielle pour tout le raisonnement puisque elle assure l'existence de la suite