développement limité et physique

[invite0a41223c]

salut à tous,

N'ayant pas eu de calculatrice à ma disposition lors d'un exercice de probalité, j'ai essayer de calculer à 0,95^97 à l'aide d'un petit développement limité:

(1+epsilon)^n ~ 1+n*epsilon,

avec epsilon=-0,05 et n=97.

Le pb est que ce n'est pas juste dans ce cas.
La question est donc de savoir comment savoir à partir de quand le reste du développement limité est négligeable pour des applications numériques comme en physique par exemple ?

merci d'avance pour vos réponse ++
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[invitea41c27c1]

En physique on fait un dévelopement limité jusqu'au premier terme non nul, car est négligeable devant si est non nulle.

Tu vas me dire pourquoi on ne s'arrête pas à l'ordre 0 pour . C'est parce que dans le contexte du physicien on veut comparer l'écart entre et et donc on fait un développement limité de et on s'arrête au premier terme non nul.

Cordialement.

[invitea41c27c1]

En physique on fait un dévelopement limité jusqu'au premier terme non nul, car est dominant devant si est non nulle.

Tu vas me dire pourquoi on ne s'arrête pas à l'ordre 0 pour . C'est parce que dans le contexte du physicien on veut comparer l'écart entre et et donc on fait un développement limité de et on s'arrête au premier terme non nul.

Cordialement.

[invitea3eb043e]

La question est donc de savoir comment savoir à partir de quand le reste du développement limité est négligeable pour des applications numériques comme en physique par exemple ?

Je crois qu'un physicien aurait utilisé l'approximation 0,95^97 = 0 qui paraît assez bonne.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0a41223c]

En physique on fait un dévelopement limité jusqu'au premier terme non nul, car est dominant devant si est non nulle.

Tu vas me dire pourquoi on ne s'arrête pas à l'ordre 0 pour . C'est parce que dans le contexte du physicien on veut comparer l'écart entre et et donc on fait un développement limité de et on s'arrête au premier terme non nul.

Cordialement.

Je ne comprends pas très bien ta réponse garnet mais merci de m'avoir répondu !! , pour mon exemple en fait le résultat de 0.95^97 est 0.0069 environ alors que 1-97*0.05=-3.85 donc le dl n'est pas bon pour cet ordre (ordre 1).

Ma question est don de savoir s'il existe une technique qui permet de savoir à partir de quel ordre on peut exploiter le développement limité d'une fonction en physique, sinon ç'a ne sert à rien, non ?

J'ai de gros doute sur les approximations au premier ordre que l'on peut faire en physique sans véritable justification (par exemple l'équation du mouvement d'un pendule fait intervenir sin(x) que l'on remplace par x sans savoir si ce sera suffisant pour correspondre "numériquement" au sinus)

[invitea3eb043e]

En général l'étude d'un phénomène physique fait appel à une modélisation, c'est-à-dire à une simplification considérable de la réalité et aussi à des approximations de calcul. Assimiler le sinus à l'angle est une approximation pour le pendule mais le fait de négliger l'amortissement et la résistance de l'air en est une autre.
Pour le pendule on sait qu'une meilleure approximation de la période est To(1 + A²/16) où A est l'amplitude en radians. C'est alors qu'il faut voir si on n'a pas négligé des effets plus gros que celui-là.

[invite0a41223c]

existe-t'il une technique qui permet de savoir à partir de quel ordre on peut exploiter le développement limité d'une fonction en physique pour qu'il soit "numériquement" proche de la fonction ?

En reprenant mon exemple je souhaite une précision de 0,0001 par exemple comment en déduire l'ordre nécessaire ?

[invitebfd92313]

En fait, ce que tu veux c'est déterminer l'écart entre ta fonction et le développement limité que tu utilises, pour cela tu peux utiliser l'inégalité de taylor-lagrange qui est énoncée ici

[invitea41c27c1]

Si j'ai bien compris ta question, c'est la suivante :

Pour donnée; on cherche tel que l'on puisse approximer à près :
.

ie : .

Mathématiquement il faut utiliser la formule de Taylor reste intégrale :



Donc :

.

Et donc pour tel que : ( ce qui n'existe pas toujour...), on a :



Voilà.

Je crois qu'un physicien aurait utilisé l'approximation 0,95^97 = 0 qui paraît assez bonne.

Hmmm... ça dépend, le physicien veut quand même avoir l'ordre grandeur du terme d'erreur et donc ne va pas prendre 0 !

[invite0a41223c]

Merci Hamb c exactement ce que je voulais !!

[invite0a41223c]

et Garnet aussi !!

[invitef8661968]

Salut

Quelqu'un pourrait il m'aider please, il y a plusieurs points que je ne comprends pas la dedans :

Si j'ai bien compris ta question, c'est la suivante :

Pour donnée; on cherche tel que l'on puisse approximer à près :
.

ie : .

Mathématiquement il faut utiliser la formule de Taylor reste intégrale :



Donc :

.

Et donc pour tel que : ( ce qui n'existe pas toujour...), on a :



Voilà.


Hmmm... ça dépend, le physicien veut quand même avoir l'ordre grandeur du terme d'erreur et donc ne va pas prendre 0 !

Tout d'abord pourquoi



et pas



en soustrayant en plus f(0) ? (juste un oubli?). Je ne sais pas trop parce que comme j'ai d'autres problèmes après, ils sont peut être tous liés ...!


la deuxième chose c'est que dans :



je ne comprends pas pourquoi mais moi en faisant un changement de variable sur la formule de Taylor avec reste intégral j'ai un facteur ...
en effet dans



on remplace a par 0 et b par

Ensuite changement de variable

et c'est là que le terme apparait.


Et dernière chose :

Et donc pour tel que : ( ce qui n'existe pas toujour...), on a :

Le(s) N est(sont) si facilement déductible(s) de cette inégalité ?? Je ne vois pas pourquoi ...

merci a+

PS : pourquoi dans , l'exposant ne s'affiche pas correctement svp?

[invitef8661968]

quelqu'un pour éclairer ma lanterne basse consommation =) ??