Probleme de demonstration par recurrence

[invite14104169]

Bjr, je suis des cours de mathématiques(Suites) à domicile et j'ai un probleme pour demontrer que:

1/ 1²+2²+3²+...+n²=[n(n+1)(2n+1)]/6

2/ Un=2/(1*3) + 2/(2*4) + ... + 2/[n(n+2)]=
(2n+3)/[(n+1)(n+2)]

Si mon vocabulaire est bon, je ne sais pas trouver un terme general d une suite en utilisant la demonstration par recurrence

Merci a tous!
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[prgasp77]

Bonjour, le vocabulaire est bon.
Je vais te faire le 1) en exemple, tu tentera le 2).

Le but est de démontrer que la suite


a pour terme général
: la propriété

Pour cela on utilise la récurrence (particulièrement efficace ici). Pour rappel une démonstration par récurrence se fait en trois parties :

1. Initialisation
   Il suffit de vérifier que la propriété est vraie pour notre premier élément :
   : OK
   
   
   
   
2. démonstration de l'hérédité
   C'est là la partie la plus importante et la plus ardue. Il faut commencer par écrire ce que nous cherchons à démontrer quelque part sur un brouillon, cela nous servira de ligne de mire. Ici, nous cherchons à démontrer l'implication :
   (j'ai replacé par dans la propriété). J'en profite pour calculer .
   
   Pour démontrer cette implication, calculons :
   #
   
   
   
   
3. conclusion
   Nous avons démontré que la propriété était vraie au rang 1 d'une part (1.), et qu'elle était héréditaire pour tout d'autre part(2.). Nous pouvons donc conclure que par principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout naturel non-nul. Ainsi,
   
   

Bonne chance pour la 2), n'hésite pas si tu as des questions.

[invite14104169]

Merci pour la demonstration! mai en réalité j'avais mal posé mon enoncé:

En partant de Un=1²+2²+3²+...+n² comment je trouve le terme general qui est [n(n+1)(2n+1)]/6 (sachant que je suis censé ne pas le connaitre)

Merci encore

[ericcc]

Pour être encore plus clair à la troisième ligne du calcul ci dessous on utilise l'hypothèse de récurrence quand on remplace Un par sa valeur.

Pour démontrer cette implication, calculons :

[A voir en vidéo sur Futura]

[ericcc]

SI tu ne connais pas la formule générale, la récurrence ne te servira à rien.

Une méthode est d'écrire (k+1)³-k³=3k²+3k+1
Tu fais la somme pour k variant de 1 à n, et tu retrouves ton résultat.

[prgasp77]

SI tu ne connais pas la formule générale, la récurrence ne te servira à rien.

Oui, comme ericcc le dit, la récurrence sert à démontrer qu'une propriété dépendante de n est vraie pour un ensemble de n. Mais il faut connaitre cette propriété pour la démontrer.
Ici, si la terme général est inconnu et s'il n'est donné aucune indications, l'excercice est un peu compliqué.

[invite14104169]

Pouvez alors m'expliqué commen je passe de Un=1²+2²+3²+...+n² à [n(n+1)(2n+1)]/6 que je suis cnesé ne pas connaitre!

Merci

[hhh86]

Pouvez alors m'expliqué commen je passe de Un=1²+2²+3²+...+n² à [n(n+1)(2n+1)]/6 que je suis cnesé ne pas connaitre!

Merci

Tu peux faire une conjecture en affirmant que 1²+2²+3²+...+n²=[n(n+1)(2n+1)]/6
Puis ensuite tu vérifies par récurrence

[Flyingsquirrel]

Pouvez alors m'expliqué commen je passe de Un=1²+2²+3²+...+n² à [n(n+1)(2n+1)]/6 que je suis cnesé ne pas connaitre!

ericcc vient de le dire :

Une méthode est d'écrire (k+1)³-k³=3k²+3k+1
Tu fais la somme pour k variant de 1 à n, et tu retrouves ton résultat.

[inviteb1deaa23]

Pour démontrer cette implication, calculons :

[/INDENT]

Je ne vois pas comment vous passez de la première à la deuxième ligne parce y'a un (n+1) qui saute :/

[invite14104169]

Il a factorisé l'ensemble par (n+1)

[inviteb1deaa23]

Il a factorisé l'ensemble par (n+1)

Et ça ne devrait pas faire :

?

NB 22:09 : Désolé, je viens de voir mon erreur :/.

Merci pour ta réponse mickaG