petite énigme sympa

[invitebf65f07b]

salut, je vais faire un petit retour sur ma demo :

Citation:

Posté par robert et ses amis
la parite de a permet d'ecrire en facteurs premiers : P = 2^k * p1 * p2 *...* pn avec k>=1 et n>=1 .
au vu de l'ecriture de P, n=1 car sinon pierre aurait plusieurs choix possibles.
on a donc P = 2^k * p1 , k>0
autrement dit : a=2^k , b= p1 premier.

C'est cohérent avec la solution, mais j'aurais tendance à dire qu'il faudrait être certain que tous les P de cette forme soient admissibles jusqu'à ce point pour que la démonstration soit rigoureuse.

l'idee c'est de dire que pour qu'on est un nombre pair et un impair, tous les 2 doivent se retrouver dans le nombre pair. on travaille ensuite seulement avec les autres premiers qui se combinent. si il sont 2 (n=2), il y a 3 combinaisons possibles et même s'il sont egaux cela fait 2 possibilites.
voila pourqooi je pense que je n'élimine pas de solutions potentielles.
par contre il est evident qu'à ce stade, je conserve encore de valeurs qui ne sont pas solutions.

p - p1 /= 2k - 2

desolé, faute de frappe
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[invitebf65f07b]

...je poursuis :

Citation:
Posté par robert et ses amis
ici, a l'aide d'un tableau excel par exemple, on peut dresser le tableau de la difference entre les premiers inferieurs a 100 et comparer au valeurs possibles de 2^k + 2 (2,6,14,30,62,...).
on constate que seuls 19 et 79 sont possibles pour p1.

Là je ne suis plus. Comment tu te retrouves avec seulement 19 et 79 ?

je vais pas citer toute la demo, elle est au poste 9, mais à ce stade je cherche un nombre premier p1 qui verifie : p - p1 /= 2k - 2 avec p premier quelconque.
j'ai naturellement fais un tableau avec en entrées des lignes et des colonnes les premiers inferieurs à 100 et dans chaque case la difference correspondante (un demi tableau suffit en fait). si tu ne vois pas à quoi il ressemble, j'essairais de le joindre la prochaine fois.
je n'ai plus qu'à comparer les cases de ce tableau avec les valeurs que prend (2^k-2) c'est à dire (2,6,14,30,62,...) et j'élimine tous les premiers dont la difference avec un autre prend une de ces valeurs.
Et là, MIRACLE seul 19 et 79 résiste à ce crible. je sais que j'ai été un peu rapide la 1ere, desolé.

[moijdikssékool]

j'ai fait une bourde. pour être sûr que S impair n'est pas la somme de 2 nombres premiers, une condition suffisante est S>2+97 = 99 (97 étant le dernier nombre premier)

par contre, ce n'est pas nécessaire, puisque une somme impaire peut être somme de 2 nombre premiers!

on a vu que (4,3) n'est pas solution parceque la somme 7 peut être la somme de 2 nombres premiers: 2 et 5
après 7, il y a 9. non plus car 9 = 2+7 et (2,7) est premier
ensuite, il y a 11 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6. Aucun des couples n'est premier

Ces couples sont donc potentiellement solutions
essayons (2,9)
soit donc P = 2*9 = 18 et S = 2+9 = 11
à partir de 18, Pierre ne peut conclure car on a aussi 18=6*3
Serge le savait car 11 ne peut pas être la somme de 2 nombres premiers
Ah bon? dit Pierre. Donc, pour Pierre, la somme que Serge a devant les yeux, qui est soit 2+9=11 soit 6+3=9, ne peut être 9 car 9 est décomposable en somme de nombres premiers 9 = 2+7 (et Serge n'aurait pu alors dire qu'il savait). Ce ne peut être que 11, c'est à dire

n1 = 9 et n2 = 2 est un couple de solution

essayons (4,13)
4*13 = 52 et 4+13 = 17
à partir de 52, Pierre ne peut conclure car on a aussi 52=2*26 (il n'y en a que 2)
Serge le savait car 17 ne peut pas être la somme de 2 nombres premiers
Ah bon? dit Pierre. Pour pierre, la somme que Serge a devant les yeux est soit 2+26=28 soit 4+13=17
Comme 28 peut être la somme de 17 et 11 qui sont premiers, ce ne peut-être 28, et c'est forcément 17, c'est à dire que 4 et 13 forme un couple solution. OK

(2,9) et (4,13) sont des couples solutiooons du discours P/S

[invitec314d025]

essayons (2,9)
soit donc P = 2*9 = 18 et S = 2+9 = 11
à partir de 18, Pierre ne peut conclure car on a aussi 18=6*3

oui

Serge le savait car 11 ne peut pas être la somme de 2 nombres premiers

oui

Ah bon? dit Pierre. Donc, pour Pierre, la somme que Serge a devant les yeux, qui est soit 2+9=11 soit 6+3=9, ne peut être 9 car 9 est décomposable en somme de nombres premiers 9 = 2+7 (et Serge n'aurait pu alors dire qu'il savait). Ce ne peut être que 11

oui

c'est à dire
n1 = 9 et n2 = 2 est un couple de solution

non

Pourquoi ? parce qu'il manque la dernière réplique. Pierre a trouvé les nombres mais Serge ne le peut toujours pas. Pour lui les nombres pourraient aussi bien être 8 et 3, ou 4 et 7, qui auraient conduit au même résultat.

[moijdikssékool]

essayons (6,11)
6*11 = 66 et 6+11 = 17
à partir de 66, Pierre ne peut conclure car on a aussi 66 = 3*22
Serge le savait car 17 ne peut pas être la somme de 2 nombres premiers
Ah bon? dit Pierre. Pour pierre, la somme que Serge a devant les yeux est soit 3+22 = 25 soit 17
Comme 25 est la somme de 2 et 23 qui sont premiers, ce ne peut-être 25, et c'est forcément 17, c'est à dire que 6 et 11 forme un couple solution

et, selon le même raisonnement:
essayons (4,13)
4*13 = 52 et 4+13 = 17
à partir de 52, Pierre ne peut conclure car on a aussi 52=2*26 (il n'y en a que 2)
Serge le savait car 17 ne peut pas être la somme de 2 nombres premiers
Ah bon? dit Pierre. Pour pierre, la somme que Serge a devant les yeux est soit 2+26=28 soit 4+13=17
Comme 28 peut être la somme de 17 et 11 qui sont premiers, ce ne peut-être 28, et c'est forcément 17, c'est à dire que 4 et 13 forme un couple solution

Donc avec la même somme 17, on 2 couples solutions: (6,11) et (4,13)

Serge avait donc le choix entre ces 2 couples (peut-être y en a-t-il d'autres...) pour le même chiffre 17 et pouvait, comme le souligne la dernière réplique, trouver un couple différent de Pierre

[moijdikssékool]

il faut vérifier que n1+n2 ne peut s'écrire en une somme de 2 nombres premiers

si on prend le premier cas 1)n1 = 2 , n2 = (p1^a1*p2^a2*... pk^ak impair, k>1 ou a1>1)
et en se limitant à n1 = 2 et (n2 = p1^2 ou p1*p2)
avec (2,p1^2), il faut 2+p1^2 /= P1+P2, P1 et P2 premiers (/= signifie "différent")
donc il faut vérifier que pour tout k de 0 à p1^2-2, 2+k est premier, p1^2-k ne l'est pas, et vice-versa (ca rejoint la démo de la bande à Robert)

donc il fau faire un scan de p1 de 3 à 100 et vérifier pour k de 0 à p1^2-2 que (2+k,p1^2-k) n'est pas un couple de premier

et encore, c'est juste en considérant 1), il reste 2) n1 = (2^j*p1^a1*p2^a2*... pk^ak, j>1 ou (k>0 ou a1>10) et j=1) + n2 = (P1^A1*P2^A2*... Pm^Am impair) en prenant des conditions minimales sur j, k, m, ak et am

bref, on ne peut pas résoudre ce problème sans passer par un programme informatique

[invitebf65f07b]

bonsoir,
j'ai revu ma copie... meme si je affirmais le contraire encore ce matin, la derniere etape de mon raisonnement qui fait sortir b=19 pour un des 2 nombres est en effet douteuse.
je cherchait un premier qui verifie ma contrainte qqsoit a=2^k, ceci n'a pas vraiment de sens en y repensant.
enfin bon, tout n'est pas a jeter alors on en est a la 3eme replique qui donne : a=2^k et b=p1, premier.
a ce stade, les 2 savent ceci et serge peut desormais conclure lui aussi.
serge sait que sa somme est de la forme S = 2^k + p1 , s'il peut se decider, c'est que S admet une seule ecriture de ce type. encore une fois je passe par un tableau excel (faut croire que je suis fan ) que j'ai joint. et la on constate que plusieurs couple verifie ceci : (4,13),(16,13),(4,37),(16,37), (16,43),... je suis pas allez plus loin.
une satisfaction c'est qu'il apparait cette fois "la solution", si vous voyez en quoi les autres sont invalides...

tant que j'y suis, le cas ou le produit est un cube est exclus par la 1ere replique de serge car p^2 + p = p(p-1) ce qui est toujours pair...

je crois que ca avance

[moijdikssékool]

déjà, je pense que l'on peut exclure ce foutu 2, que l'on peut exclure 2 comme l'un des 2 chiffres:

supposons n1 = 2 et n2 = 2k+1

comme n2 = 3 ou 5 ou 7 ne conviennent pas (car premiers), donc k>3

on sait que la somme peut être écrite comme (2+2)+(2k-1)
étudions n1+n2 = (2+2)+(2k-1)

n1*n2 = 4*(2k-1) = 8k-4 est décomposable en somme de 8(k-1) et de 4 ou 8(k-2) et de 12 (possible car k>3)
Or, nous avons dit que pour que Pierre puisse statuer sur le chiffre S de Serge, il faut que parmi les décompositions en somme de S, il y ait une décomposition en 2 chiffres non premiers tous les deux et, éventuellement, d'autres décompositions en 2 nombres premiers (ce qui aurait empêcher à Serge d'annoncer sa première réplique et qui permet à Pierre de dire que ce ne sont pas ceux-là). Par ex, je dis ca ici:

Ah bon? dit Pierre. Pour pierre, la somme que Serge a devant les yeux est soit 2+26=28 soit 4+13=17
Comme 28 peut être la somme de 17 et 11 qui sont premiers, ce ne peut-être 28, et c'est forcément 17

du fait que l'on puisse décomposer la somme de 2 manières différentes ((2,2k+1) et (2+2,2k-2)) et sans que Serge ni Pierre puissent les différencier, on déduit que les 2 dernières répliques ne peuvent être prononcées sans arriver à des résultats potentiellement différents chez Serge et Pierre

donc, ni n1, ni n2 ne peut être égal à 2

donc nouvelles conditions nécessaires pour n1 et n2:
n1 = 2^j*i et n2 = 2k+1, (j>1 ou i>3) et k > 3

[Bobby]

essayons (6,11)
6*11 = 66 et 6+11 = 17
à partir de 66, Pierre ne peut conclure car on a aussi 66 = 3*22
Serge le savait car 17 ne peut pas être la somme de 2 nombres premiers
Ah bon? dit Pierre. Pour pierre, la somme que Serge a devant les yeux est soit 3+22 = 25 soit 17
Comme 25 est la somme de 2 et 23 qui sont premiers, ce ne peut-être 25, et c'est forcément 17, c'est à dire que 6 et 11 forme un couple solution

Tu as oublié une éventualité, en effet on a aussi 66 = 2*33.
La somme fait 35 et tu ne peux pas l'expremier comme somme de nombres premiers.
La somme peut donc être 17, 25 ou 35 ce qui ne permet pas à Pierre de conclure.

[moijdikssékool]

j'ai encore fai une bourde

n1*n2 = 4*(2k-1) = 8k-4 est décomposable en somme de 8(k-1) et de 4 ou 8(k-2) et de 12 (possible car k>3)

il fallait plutôt écrire 8k-4 = 2*(4k-2) est décomposable en (2,4k-2)

j'ai même écrit une deuxième bourde: (8(k-2),12) et ((8k-1),4), s'ils forment ds couples de nombres non tous les 2 premiers, sont tous les 2 pairs, alors qu'il en faut un impair

idem pour (2,4k-2)

on revient au début: S = n1+n2 = 2 + 2k+1

on a aussi
S = (2+1=3) + (2k)

ou
= (2+3=5) + (2k-2)

avec (3, 2k), le produit est 6k peut aussi se décomposer en (2, 3k)
avec (5, 2k-2), le produit est 6k peut aussi se décomposer en (2, 5(k-1))

Là, je retombe surmes pieds et je peux enchaîner sur la suite du post précédent, ie

Or, nous avons dit que pour que Pierre puisse statuer sur le chiffre S de Serge, il faut que parmi les décompositions en somme de S, il y ait une décomposition en 2 chiffres non premiers tous les deux et, éventuellement, d'autres décompositions en 2 nombres premiers (ce qui aurait empêcher à Serge d'annoncer sa première réplique et qui permet à Pierre de dire que ce ne sont pas ceux-là)

donc 2 ne peut être l'un des 2 chiffres