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l'adhérence et la continuité dans un em



  1. #1
    joliasanaa

    l'adhérence et la continuité dans un em


    ------

    slt
    soit X,X' des espaces metriques, f:X->X' continue et A inclue dans X et A' inclue dans X'.

    Vérifions est ce que ces formules est vraie??

    I- f(adh(A)) inclue dans adh(f(A))
    II- adh(f(A)) inclue dans f(adh(A))
    III-f^-1(adh(A')) inclue dans adh(f^-1(A'))

    SVP Je ne sais pas comment procéder aidez moi juste des idées

    -----
    jolitta

  2. Publicité
  3. #2
    haciol

    Re : l'adhérence et la continuité dans un em

    Comme tu es dans des espaces métriques, la bonne façon de procéder est d'utiliser les suites. La continuité de f te permet alors de permuter la limite et la fonction. Avec ça tu devrais y arriver.

  4. #3
    Antho07

    Re : l'adhérence et la continuité dans un em

    Le premier resultat se generalise à une fonction continue entre deux espaces topologiques.

    On dit que f est continue en a si pour tout voisinage W de f(a), il existe une voisinage U de a tels que .

    On peut alors montrer le premier résultat sans utiliser les suites.
    Soit A un ensemble de X
    On prend
    Il faut alors montrer que pour tout voisinage W de f(a) on a :
    .

    ce qui montrera

  5. #4
    Antho07

    Re : l'adhérence et la continuité dans un em

    le deuxieme est faux, on pourra chercher des contres exemples sur R muni de la topologie usuelle.

    On pourra utiliser la fonction f: ]0;+linfini[ dans ]0; +linfini[ defini par f(x)=1/x.

    On pourra prendre un ensemble A ouvert non bornée....

  6. #5
    joliasanaa

    Re : l'adhérence et la continuité dans un em

    Citation Envoyé par Antho07 Voir le message
    Soit A un ensemble de X
    On prend
    Il faut alors montrer que pour tout voisinage W de f(a) on a :
    .

    ce qui montrera
    merci bcp voila ce que j'ai pu faire
    je prends a dans adh(A) on a f (a) dans f(adh(A))
    il faut montrer que f(a) dans adh(f(A)) " pour avoir l'inclusion"
    pour ce la il faut montrer que pour tout W voisinage de f(a) contient des éléments de f(A)

    on a pour tout W voisinage de f(a) il existe V voisinage de a tel que
    f(V) inclue dans W

    comment dire que W inter f(A) non vide ?

    existe-il voisinage de a inclue dans f(A) ????
    je me suis bloquée ici
    jolitta

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    joliasanaa

    Re : l'adhérence et la continuité dans un em

    Je crois j'ai trouvé la solutions à l'aide de vous bien sur
    je reprends
    je prends a dans adh(A) on a f (a) dans f(adh(A))
    il faut montrer que f(a) dans adh(f(A)) " pour avoir l'inclusion"
    pour ce la il faut montrer que pour tout W voisinage de f(a) contient des éléments de f(A)

    on a pour tout W voisinage de f(a) il existe V voisinage de a tel que
    f(V) inclue dans W

    on a V∩A inclue dans A
    donc f( V∩A) inclue dans f(A)
    de meme V∩A inclue dans V
    donc f(V∩A) inclue dans f(V) inclue dans W => f(V∩A) inclue dans W

    d'ou f(V∩A) inclue dans W∩f(A)
    V∩A est non vide donc f(V∩A) non vide ( car f est continue j'ai raison ou non ?? )
    d'ou W ∩ f(A) non vide (contient une partie on vide)

    c'est juste ?????
    jolitta

  9. Publicité
  10. #7
    Antho07

    Re : l'adhérence et la continuité dans un em

    Citation Envoyé par joliasanaa Voir le message
    Je crois j'ai trouvé la solutions à l'aide de vous bien sur
    je reprends
    je prends a dans adh(A) on a f (a) dans f(adh(A))
    il faut montrer que f(a) dans adh(f(A)) " pour avoir l'inclusion"
    pour ce la il faut montrer que pour tout W voisinage de f(a) contient des éléments de f(A)

    on a pour tout W voisinage de f(a) il existe V voisinage de a tel que
    f(V) inclue dans W

    on a V∩A inclue dans A
    donc f( V∩A) inclue dans f(A)
    de meme V∩A inclue dans V
    donc f(V∩A) inclue dans f(V) inclue dans W => f(V∩A) inclue dans W

    d'ou f(V∩A) inclue dans W∩f(A)
    V∩A est non vide donc f(V∩A) non vide ( car f est continue j'ai raison ou non ?? )
    d'ou W ∩ f(A) non vide (contient une partie on vide)

    c'est juste ?????
    oui

    bien preciser que comme a est dans l'adherence de A. alors V inter A n'est pas vide.

    Une maniere de simplifier le milieu.


    donc



    Ici la continuité sert à justifier l'existence de V.

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