Bonjour, j´ai une série d´exos concernant la méthode de résolution d´extrema liés, en soi la méthode n´est pas dûre, mais bizarrement, je n´arrive jamais à conclure, ça foire toujours au niveau des systèmes d´équations. Je vous en soumet un. Je met mes commentaires et questions en rouge:
Soit f de IR3 dans IR:
f(0,0,0) = 0
Pour (x,y,z) différent de (0,0,0):
Montrer que f est continue et qu´elle est de classe C1 sur (]0,+oo])3. Ça c´est pas un problème (quand même!).
Soit a>0. Montrer que f atteint son maximum sur:
K= {(x,y,z) : x>=0, y>=0, z>=0 et x2 + y2 + z2 = a2}
et déterminer ce maximum
Il s´agit donc du huitième de sphère positif.
Voilà pour l´énoncé.
Il est clair que f atteint sa borne inférieure et sa borne supérieure sur K car K est compact et f continue.
Pour le maximum, j´utilise le théorème sur les extréma liés:
J´appelle J: IR3 -> IR
J(x,y,z) = x2 + y2 + z2 - a2.
Donc J´(x,y,z) = (2x,2y,2z)
Il est clair que pour (x,y,z) différent de (0,0,0), à fortiori sur K, J´(x,y,z) est surjective de IR3 dans IR.
Le calcule de f´(x,y,z) donne:
f´(x,y,z) =
Il existe un multiplicateur de Lagrange, tel que:
f´(x,y,z) =
C´est á peu près là que ça commence à cafouiller: J´ai les équations suivantes:
pareil pour y et z
en multipliant la première équation par x, la deuxième par y et la troisième par z, j´obtient:
En faisant la somme, j´obtient: f(x,y,z) = 2.
Et c´est á partir de là que je vois pas trop comment conclure: je dois chercher x,y,z et
Il me semble avoir trop d´inconnues pour pas assez d´équations.
Si quelqu´un a une idée ou une méthode, ça m´arrangerait car j´ai une examen sur le sujet la semaine prochaine...
merci d´avance
christophe
-----
Envoyé par christophe_de_Berlin 
