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extrema liés



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    extrema liés


    ------

    Bonjour, j´ai une série d´exos concernant la méthode de résolution d´extrema liés, en soi la méthode n´est pas dûre, mais bizarrement, je n´arrive jamais à conclure, ça foire toujours au niveau des systèmes d´équations. Je vous en soumet un. Je met mes commentaires et questions en rouge:

    Soit f de IR3 dans IR:

    f(0,0,0) = 0

    Pour (x,y,z) différent de (0,0,0):



    Montrer que f est continue et qu´elle est de classe C1 sur (]0,+oo])3. Ça c´est pas un problème (quand même!).

    Soit a>0. Montrer que f atteint son maximum sur:
    K= {(x,y,z) : x>=0, y>=0, z>=0 et x2 + y2 + z2 = a2}

    et déterminer ce maximum

    Il s´agit donc du huitième de sphère positif.

    Voilà pour l´énoncé.

    Il est clair que f atteint sa borne inférieure et sa borne supérieure sur K car K est compact et f continue.

    Pour le maximum, j´utilise le théorème sur les extréma liés:

    J´appelle J: IR3 -> IR

    J(x,y,z) = x2 + y2 + z2 - a2.
    Donc J´(x,y,z) = (2x,2y,2z)
    Il est clair que pour (x,y,z) différent de (0,0,0), à fortiori sur K, J´(x,y,z) est surjective de IR3 dans IR.

    Le calcule de f´(x,y,z) donne:

    f´(x,y,z) =

    Il existe un multiplicateur de Lagrange , tel que:

    f´(x,y,z) = .J´(x,y,z)

    C´est á peu près là que ça commence à cafouiller: J´ai les équations suivantes:



    pareil pour y et z

    en multipliant la première équation par x, la deuxième par y et la troisième par z, j´obtient:





    En faisant la somme, j´obtient: f(x,y,z) = 2.a2.

    Et c´est á partir de là que je vois pas trop comment conclure: je dois chercher x,y,z et .

    Il me semble avoir trop d´inconnues pour pas assez d´équations.

    Si quelqu´un a une idée ou une méthode, ça m´arrangerait car j´ai une examen sur le sujet la semaine prochaine...

    merci d´avance

    christophe

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    christophe_de_Berlin

    Re : extrema liés

    rebonjour,

    je viens de recevoir le corrigé de cet exo.... et je suis abassourdi:

    Dans ce corrigé, ils ne trouvent simplement pas la même dérivée de f que moi. J´avais peur de m´être foutu la honte, mais après vérification avec Mupad, ma dérivée est bonne, donc....

    Ils trouvent comme dérivée en x de f:



    etc... À partir de là tout est simple, mais bon Dieu, comment arrive-t-on à cette dérivée?

  4. #3
    christophe_de_Berlin

    Re : extrema liés

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin Voir le message
    Ils trouvent comme dérivée en x de f:

    Bon ben... Je viens de recevoir une réponse du prof. correcteur... "petite" erreur dans le corrigé. Ce qui ne résoud pas mon problème.

  5. #4
    MMu

    Re : extrema liés

    Manifestement le maximum doit avoir lieu pour
    On observe que dans ton système des multiplicateurs de Lagrange il faut . Il s'ensuit :
    d'où ,
    ou encore , donc et
    --------
    Voici une autre méthode . Je suppose connue la fameuse moyenne_géométrique moyenne_arithmétique , .
    Il s'ensuit . Avec la condition on obtient facilement
    donc et comme on a

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    christophe_de_Berlin

    Re : extrema liés

    oua! merci! brillant!

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