La fonction x^x

[invite771d98bb]

Bonjour à tous !

Comme c'est écrit dans le titre du sujet, je cherche à étudier la fonction x^x. Avant de poster ce message, j'ai déjà parcouru le forum et j'ai vu qu'il y avait déjà un sujet sur cette fonction.

Le seul problème, c'est que je cherche à l'étudier pour x <0, ce qui complique vraiment les choses.

Nous avons vu en cours que dans cet intervalle, elle pouvait être associée à la fonction :

f(x) = [-(-x)]^x = ((-1)^x)*(e^(xln(-x))

J'aimerai savoir comment pourrait ont faire pour étudier ses limites, la dérivée et comment se comporte t'elle globalement. Je sais qu'à un moment donné nous devons passé en complexes.

Mais pour le reste je suis bloqué et j'aimerai avoir vos avis d'expert !

Merci d'avance!
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[invitec317278e]

C'est une fonction qui, pour x négatif, n'est définie que sur les entiers négatifs...

[invité576543]

(...)

Il me semble que la fonction x^x n'est pas définissable pour les réels négatifs.

Nous avons vu en cours que dans cet intervalle, elle pouvait être associée à la fonction :

f(x) = [-(-x)]^x = ((-1)^x)*(e^(xln(-x))

C'est très surprenant que cela a été présenté en cours, parce que l'écriture (-1)^x n'a pas de sens clair pour x autre qu'entier, me semble-t-il.

Déjà (-1)^1/2 n'est pas défini sur les réels, mais ne l'est pas non plus sur les complexes, parce qu'il y a deux valeurs possibles. Plus généralement (-1)^1/n correspond à n valeurs (complexes) distinctes, et on voit mal comment cela va pouvoir se généraliser à des irrationnels!

Mais peut-être y a-t-il une manière de définir cette écriture? Ca ne doit pas être immédiat!

Cordialement,

[stefjm]

De mémoire morte...
La fonction ln complexe n'est défini qu'à la condition d'ôter une demi droite passant par 0.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

On peut définir une fonction z^z multivaluée en
z^z = r^z.exp(ziθ), avec z = r.exp(iθ).

La branche principale étant obtenue pour θ entre –π et π.
Par exemple iⁱ = exp(–π/2) dans la branche principale.

Si z est entier négatif, θ=(2k+1)π, et exp(ziθ) redevient monovalué.

La fonction log peut être définie comme multibranche, avec une branche principale qui coïncide avec le log usuel sur les réels positifs.