[ Maths ] Probas

[inviteb64a2f8e]

Bonjour à tous !

Voilà j'ai un problème de probas à travailler et je voudrais savoir si ma première partie est correcte pour pouvoir passer au reste. Voilà l'énoncé:

Enoncé :

On considère un combat entre trois tireurs A, B, C, qui se déroule en une suite d’épreuves de
la fa¸con suivante, jusqu’à élimination d’au moins deux des trois tireurs :
• Tous les tirs sont indépendants les uns des autres.
• Lorsque A tire, la probabilité pour qu’il atteigne son adversaire est égale à .
• Lorsque B tire, la probabilité pour qu’il atteigne son adversaire est égale à .
• Lorsque C tire, la probabilité pour qu’il atteigne son adversaire est égale à .
• Lorsque qu’un des tireurs est atteint, il est définitivement éliminé des épreuves suivantes.
• A chacune des épreuves, les tireurs non encore éliminés tirent simultanément et chacun d’eux
vise le plus dangereux de ses rivaux non encore éliminés.
(Ainsi, à la première épreuve, A vise B tandis que B et C visent A).

Pour tout nombre entier , on considère les événements suivants :
– : " à l’issue de la ème épreuve, A, B et C ne sont pas encore éliminés."
– : " à l’issue de la ème épreuve, seuls A et B ne sont pas encore éliminés."
On définit de façon analogue les événements et .
– : " à l’issue de la ème épreuve, seul A n’est pas éliminé."
On définit de façon analogue les événements et .
– : "à l’issue de la ème épreuve, les trois tireurs sont éliminés."
– Enfin, est l’événement certain, , , , , , , l’événement impossible.

Le but de ce problème est de déterminer les probabilités pour que A, B et C remportent le combat.

Première partie :

1) Exprimer, si U et V désignent deux événements quelconques d'un espace probabilisé donné, la probabilité de l'événement en fonction de , et p(U\capV).

=> Bon là c'est vraiment facile :

2) En déduire la probabilité pour qu'à une épreuve à laquelle participent A, B, C : (A rate son tir) et (B ou C réussissent leur tir)

=>

3) En déduire la probabilité pour qu'à une épreuve à laquelle participent A, B, C : (A réussit son tir) et (B ou C réussissent leur tir)

=>

Voilà la première partie du problème semble vraiment facile mais il y en a 3 autres. Y'a t-il des erreurs ou puis-je passer à la suite ?

Merci beaucoup !

ZimbAbwé.
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[invitebb921944]

Bonjour,

Dans la deuxième question, tu ne te sers pas de la première alors qu'il est écrit : "en déduire". Ca devrait déjà te mettre la puce à l'oreille.
Tu considères que la probabilité de l'union est égale à la somme des probabilités mais cela est vrai uniquement pour des évènements disjoints. Or, il se peut tout à fait que B et C réussissent tous les deux leur tir, ce qui montre que ces évènements ne sont pas disjoints.
Utilise la formule de la première question !
Je n'ai pas vérifié ta troisième réponse...

[inviteb64a2f8e]

Merci !

Oui c'est vrai que ça m'a paru suspect de ne pas utiliser la relation de la question 1) mais je pensais qu'il y avaient d'autres façons. De toute façon, c'est vrai que j'ai considéré les événements A et B incompatibles alors qu'ils peuvent très bien réussir en même temps.
Après rectification, j'ai donc :

2)

3) De même,

C'est mieux comme cela ?

Merci beaucoup !

[invitebb921944]

C'est mieux effectivement .

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb64a2f8e]

Merci beaucoup !

Bon je saute la Deuxième Partie qui est un peu fastidieuse avec beaucoup d'expressions de probabilité totales. Donc voilà la Troisième Partie où je commence à bloquer un peu :

Troisième partie :

On note [T=n] l'événement suivant : "le nombre d'épreuves à l'issue duquel cesse le combat, c'est-à-dire au bout duquel il ne reste qu'un tireur au plus, est égal à n".

1) Quelle est la probabilité de l'événement [T=1] ?

=> C'est en fait la question 3 de la Première partie, c'est-à-dire "A réussit son tir" (donc B éliminé) et "B ou C réussissent leur tir" (donc A éliminé). D'où,

2) Soit . Calculer la probabilité de l'événement suivant :

=> Je trouve simplement

3)Soit . Calculer la probabilité de la réunion des événements suivants pour :

=> Avec la formule des probabilités totales, je trouve et donc

4) Soit . Calculer la probabilité de la réunion des événements suivants pour :

=> De même que pour la 3), je trouve et donc

5) Soit . On note l'événement suivant : "le combat n'est pas terminé à l'issue de la ème épreuve". Calculer sa probabilité .

=> Je pensais faire

Justifier que [TEX][T=n]=[T>n-1] \ [T>n] et en déduire la probabilité (on vérifiera bien que cette formule redonne bien pour le résultat obtenu à la question 1).

=> C'est là où je bloque car avec mon expression de ci-dessus, je ne vois pas de simplification avec les et les :S

6) Vérifier que la somme de la série de terme général (avec ) est égale à 1.

=> Je ne peux pas encore essayer car je bloque à la 5)

Voilà, un p'tit coup de pouce ou une p'tite piste serait le bienvenu. Merci beaucoup!

[inviteb64a2f8e]

En vérifiant pour et , je constate que j'ai du faire une erreur quelque part dans mon calcul de somme. Mais je ne vois pas où :S

J'ai sorti le et le de la somme. Il me reste donc et donc ensuite je tombe sur
D'où mon résultat.

Je ne vois pas bien où est mon erreur de calcul. Je vous serais reconnaissant de me la montrer.
Merci beaucoup !

[inviteb64a2f8e]

C'est bon j'ai résolu tous mes problèmes pour les premières questions je me retrouve avec :




Mais je bloque pour la question 5). On nous dit que mais je ne vois pas comment on peut simplifier , c'est-à-dire :



J'ai beau cherché en factorisant, en essayant les sommes télescopiques, je ne vois pas comment on peut simplifier cette expression :S

Merci beaucoup !