révisions suite : séries de Fourrier

[aurk]

Bonjour,

après mon premier message sur les révisions(où je n'ai pas encore de réponse mais ce n'est pas grave, j'attends) voici un autre exercice proposé par mon professeur, cette fois sur les séries de Fourrier.

Il faut écrire le développement en série de Fourrier des fonctions, étudier la convergence de ce développement puis en déduire les sommes de certaines séries.

Pour la convergence, je n'ai pas trop d'idées, dois-je utiliser Abel comme pour les séries?

Voici ce que j'ai fait, pouvez-vous me dire ce que vous en penser s'il vous plaît?

1)Soit f la fonction 2pi-périodique, paire, définie sur R par f(x) = x si x appartient à [0,pi].

J'ai trouvé le développement en série de Fourrier suivant: pi/2 + somme(de n=1 à +infini) de -4cos ((2n+1)x)/(pi(2n+1)²)

J'ai trouvé que la somme de n=1 à +infini de 1/(2n+1)² = pi²/8
et de 1/(2n+1)⁴ = pi⁴/24
Apparement, mon deuxième résultat est faux, je devrais trouver pi⁴/96 mais je ne trouve pas mon erreur ( cf Pièce Jointe 1)

Je n'ai pas réussi à trouver comment en déduire la somme de 1/n² et 1/n⁴

2)Soit f 2pi-périodique, paire, définie sur R par f(x) = x² si x appartient à [0,pi]

développement en série de Fourrier: pi²/3 + somme(n=1 à +infini) de 4*cos(nx)*(-1)ⁿ/n²

somme de n=1 à +infini de (-1)ⁿ/n² = -pi²/12 , de 1/n² = pi²/6
Pour la somme 1/n⁴ je trouve pi⁴/40 mais ce n'est apparement pas la bonne réponse qui serait en fait
pi⁴/90n je n'ai pas trouvé mon erreur non plus (cf Pièce Jointe 2)

Voilà, merci d'avance

Par contre, les pièces jointes sont des brouillons donc ce n'est pas très bien présenté!
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[invite7ffe9b6a]

Dans la somme (parseval) tu aurais pas oublié par hasard?

[aurk]

Bonsoir, c'est possible en effet, je vais regarder cela demain