Etude de fonction

[invite31888f65]

bonjour,

j'étudie la fonction:
f(x)= Arcsin ( 1 -2x²)
j'ai pas de gros soucis,
j'ai le domaine de définition [-1;1]
on peut facilement montrer que f est paire,
j'ai trouvé la dérivé sur chaque intervalle,
f'(x)=2/rac(1-x²) sur [-1;0[
f'(x)=-2/rac(1-x²) sur ]0;1]
j'ai donc le tableau de variation,
f est croissante sur [-1;0[ et décroissante sur ]0;1]
mon soucis se situe au niveau de la concavité de la courbe,
la courbe devient "droite" entre [-1/2;1/2] et je ne sais pas comment justifier cela,
peut être avec les dérivées secondes, mais quand je les calcule et que je cherche ou elles s'annulent, je trouve en 0 or en 0 on a pas un changement de concavité mais un point "anguleux" et puis même pourquoi la courbe est droite et comment le justifier!!
voilà où j'en suis.

merci d'avance
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[Jeanpaul]

Trace la fonction par Excel ou autre et tu verras un point d'inflexion en zéro, qui est aussi un point anguleux. C'est là que la dérivée seconde s'annule, que la courbe ressemble le plus à une droite même si elle ne passe pas de l'autre côté de la tangente.

[invitea41c27c1]

f'(x)=2/rac(1-x²) sur [-1;0[
f'(x)=-2/rac(1-x²) sur ]0;1]

c'est pas ça...
As-tu dérivé correctement le ?

[Jeanpaul]

Pourquoi c'est pas juste ? Il ne s'est pas laissé avoir par la racine de x².

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite31888f65]

donc finalement le point anguleux en 0 est tout de même un point d'inflexion, je ne savais pas que la courbe n'était pas "obligé" de couper la tangente...

[Jeanpaul]

On peut jouer sur les mots et dire qu'une inflexion est un point où la dérivée seconde est nulle et pas la dérivée troisième, alors la courbe traverse ou du moins pourrait traverser, sauf qu'ici elle est interrompue.
Plus subtil serait le cas où la dérivée seconde serait nulle et aussi la dérivée troisième car alors on aurait un contact d'ordre supérieur sans traversée.
Il faudrait demander à l'académie des sciences s'ils ont une nomenclature pour ces cas-là !

[invitea41c27c1]

Pourquoi c'est pas juste ? Il ne s'est pas laissé avoir par la racine de x².

Au temps pour moi, j'ai dis n'importe quoi.