Une simple primitive

[inviteafcb6241]

Bonsoir, j'aimerais intégrer (1-(-t²)ⁿ⁺¹)/(1+t²). Comment faire?

Merci.
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[invitec317278e]

Formule de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique :

[inviteafcb6241]

A vrai dire, c'est le raisonnement inverse qui m'amenne a faire ce calcul... N'y aurait-il pas une autre méthode?

[inviteafcb6241]

L'exercice demande en fait de prouver la convergence et calculer la somme de ∑(-1)ⁿ/(2n+1).
Il faut se servir de l'égalité (-1)^k/(2k+1)=∫₀¹(-t²)^kdt afin d'exprimer la somme au moyen d'une intégralle.

Cela me donne donc ∫₀¹∑₀ⁿ(-t²)^kdt.
Je l'écris donc ∫₀¹(1-(-t²)ⁿ⁺¹)/(1+t²) afin de me ramener à la convergence d'une suite, mais c'est là que ça se corse....

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Cela me donne donc ∫₀¹∑₀ⁿ(-t²)^kdt.
Je l'écris donc ∫₀¹(1-(-t²)ⁿ⁺¹)/(1+t²) afin de me ramener à la convergence d'une suite, mais c'est là que ça se corse....

Si le but de la question est de calculer la limite de quand , on peut écrire que

La première intégrale se calcule facilement et la seconde tend vers 0 quand tend vers l'infini (pourquoi ?).

[inviteafcb6241]

Merci de cette réponse

Pour justifier que la seconde tend vers 0, on peut dire que l'intégralle est inférieure à ∫₀¹t²ⁿ⁺²=1/(2n+3)?

Ainsi, la question de la convergence et la somme (Arctan1) est réglée.

Mais par la suite, on me demande d'étudier la convergence de ∑v_n où v_n=ln(tan(∑₀ⁿ(-1)^k/(2k+1)))

Au moins ça ne diverge pas grossièrement, mais je ne vois pas comment utiliser les méthodes classique pour les convergences de suites à ce cas. J'aurais bien aimé faire un DL mais le tan me gène...