Système différentiel

[invite33497694]

Bonjour,

Je voulais savoir si la solution d'un système différentiel état unique.

X'=AX+B dans R^n

En effet, s'il n'y pas unicité de la matrice de passage ou de la matrice trigonale, je ne vois pas comment il peut y avoir unicité.

Sont-ce les conditions initiales qui permettent cette unicité?

Selon cette dernière hypothèse, si ce sont les conditions initiales qui font l'unicité de la solution du système,faut-il s'étonner que l'on obtienne des solutions différentes en prenant des matrices de passage ou trigonales différentes si les conditions initiales ne sont pas données?
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Bonjour,

en fixant une condition initiale à ton ED, tu obtiens pour A la matrice de ton système de , un réel , un vecteur le problème de Cauchy suivant:

dont la solution est unique sur

faisant partie du problème elle fixe la base dans laquelle tu exprimes tes solutions, tu peux travailler dans une autre ( méthode de diagonalisation, trigonalisation ...) mais ta solution s'exprime finalement dans la base de référence utilisée dans

J'espère avoir répondu à ta question
Bonne journée
Blable

(PS: le th d'unicité a pour nom th de Cauchy-Lipschitz je crois )

[invitead1578fb]

Pour finir, si tu ne fixes pas de conditions intiales tu peux exprimer ta solution sur l'ev des solutions ( de dim n ) et donc trouver plusieurs façons de l'exprimer, encore une fois les matrices de passages ne sont qu'un "changement de repère"

[invitead1578fb]

Enfin, (désolé du post en plusieurs fois ) comme la matrice A fait partie intégrante du probleme même si tu peux "choisir" ta matrice trigonale" ou la matrice de passage, le choix de l'un fixe l'autre (le plus souvent en tout cas)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite33497694]

Bonjour,
Merci pour ton aide et tes explications.

Je me demande une derniere chose pour finir et pour etre sur.



Si on prend une matrice A


dont les valeurs propres sont 1 et -1




Si on prend comme vecteurs liés à la valeur propre 1 :



Et comme vecteur propre associé à la valeur propre -1:



L'ensemble des solutions du système est l'ensemble des fonctions de la forme


Ici :


Maintenant si je prends comme veteurs propre associés à la valeur propre 1 :





On aura

Donc, ce n'est finalement qu'une "reexpression" de la solution trouvée auparavant?

[invitead1578fb]

Re,
exactement, à une erreur de signe près que tu as faite à la dernière ligne c'est "+b" et non "-b"
et là tu peux voir que ton si à ta dernière solution tu ajoutes tu retrouves la première or ce que tu as ajouté est solution de l'ED donc par linéarité ce que tu retrouves aussi
bonne soirée
Blable