Birapport sur une droite projective

[Bleyblue]

Bonjour,

Dans mon cours de géométrie projective j'ai le théorème suivant :

Notons encore a,b,c,d les coordonnées exactes des points distincts d'une droite affine complétée.
Alors le birapport vaut :



Certaines conventions évidentes sont sous jacentes, du faite que a,b,c ou d peut être égale à l'infini.

Cependant je ne trouve pas les conventions si évidentes que ça.
En particulier, l'écriture est-elle équivalente à :



ca dépend des conventions, que justement je ne connais pas ...
Pouvez-vous m'éclairer ?

merci
-----

[Jeanpaul]

Ce truc est une généralisation de la notion de division harmonique.
Soit 2 points C et D sur une droite. Le point A divise le segment DC selon le rapport AD/AC (mesures algébriques) et idem le point B divise DC selon le rapport BD/BC.
On dit que les 4 points sont en division harmonique si AD/AC = - BD/BC.
On peut alors montrer que DA/DB = - CA/CB
Si maintenant on prend un point O quelque part et qu'on trace les droites OA, OB, OC et OD, et qu'on les coupe par une droite quelconque, ce qui génère les points A', B', C' et D', alors les points A', B', C' et D' sont encore en division harmonique.

Le birapport généralise cela. Le birapport d'une division harmonique vaut -1 et il est conservé quand on crée un faisceau de droites.
Cette notion sert par exemple à trouver d'où a été prise une photo si l'on a le plan du quartier. On prend des repères et on calcule des birapports.

Ce genre de truc s'étudiait en terminale encore dans les années 1960. Mais le niveau a tellement monté, n'est-ce pas ?

[Bleyblue]

Mais le niveau a tellement monté, n'est-ce pas ?

Certes, mais d'un autre côté la philosophie qu'on enseigne de plus en plus aux élèves du secondaire c'est que tout ce qu'ils font doit avoir une utilité immédiate dans la vie de tous les jours ou dans le monde industriel.
L'économie, la consommation, le capitalisme, voilà ou se situe de plus en plus les priorités du monde dans lequel on vit.

Comment s'étonner dès lors que le niveau baisse ? Moi en tout ca ça ne m'étonne plus. Comprendre une démonstration ? Ca sert à rien.
Les élèves du secondaire actuellement passent leur temps à calculer des dérivées, des primitives, résoudre des système linéaire par la méthode de Gauss, calculer des cosinus d'angles, ..., et s'imaginent faire des mathématiques.

Bon, désolé, j'ai pas pu m'empêcher