irréductibilité d'un polynôme à deux variables

[invite769a1844]

Bonjour,

on considère ou .
Je ne vois pas comment montrer que le polynôme est irréductible dans .

Merci pour vos indications.
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[Jeanpaul]

Réduire ça reviendrait à écrire un produit de polynômes du genre a X + b Y + c
Mais alors X² + Y² - 1 s'annulerait pour Y = une fonction affine de X, ce qui est faux puisque c'est une racine carrée.

[invite769a1844]

merci, je n'ai pas bien saisi la contradiction, qu'est-ce qui serait une racine carrée?

[invite769a1844]

ah oui d'accord si le corps de base est , qui n'est certainement pas affine. ça marche aussi si le corps de base est ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Je pense que oui mais on peut aussi dire que si cela se ramène à 2 équations du 1er degré, par parité les zéros ne peuvent être que
Y = a X + b et Y = - a X - b et quand on fait le produit ça ne colle pas.

[invitebb921944]

Bonjour,
Tu peux aussi utiliser Eisenstein.

[invite769a1844]

Merci, on dispose d'un critère d'Eisenstein pour les polynômes à plusieurs indéterminées?

[invitebb921944]

Non mais on peut adapter la version du cours au cas d'un polynôme à plusieurs indeterminées.

Ici, .
On peut donc par exemple poser qui est factoriel par le théorème de transfert de Gauss.
Son corps des fractions est
On peut prendre par exemple qui est irréductible dans (si , et sont de degré en et l'un des deux est de degré en par intégrité, par exemple . On a alors , d'où par identification et ainsi, est inversible.)

divise et mais ne divise pas et ne divise pas .
Donc est irréductible dans et donc dans car est primitif.

Bon je détaille pas mal et dans ce cas, il y a plus simple mais ça peut être utile pour un polynôme du genre


Sinon, la méthode directe marche quasi à tous les coups (si des astuces comme celle de Jean Paul ne fonctionnent pas).
En gros tu écris
Tu raisonnes sur une des deux variables (tu choisis au hasard, en général on prend celle de plus petit degré mais ici c'est la même chose). Ici on raisonne par exemple sur , on se place donc dans et on raisonne sur les degrés en utilisant l'intégrité de notre anneau, puis on distingue les cas (c'est le même principe que ce que j'ai fait pour montrer que est irréductible).

[invite2c3ff3cc]

Le plus simple est surement de poursuivre l'idée de Jeanpaul

Si X²+Y²-1 = (aX+bY+c)(uX+vY+w) (c'est la seule possibilité)

Faire X=0, (Y-1)(Y+1) = ... et par unicité de la décomposition en irréductibles dans K[Y], b=v=c=-w

Faire X=0 .... pareil

On aboutit à une contradiction (sauf si carac(K) = 2 au passage, vu que alors X²+Y²-1 = (X+Y+1)(X+Y-1) et X²+Y²-1 est irréductible dès que carac(K) != 2)

[invite769a1844]

ok c'est beaucoup plus clair.
Merci pour tous ces conseils.

[invitea41c27c1]

Encore plus simple : c'est un polynôme à coefficients dans l'anneau C[X]. Il n'admet pas de racine et est de degré 2 (+coefficient dominant inversible dans C[X]) donc est irréductible !!!

[invite769a1844]

ok, on peut effectivement récupérer ce petit critère sur les racines dans le cadre des polynômes à coefficients dans un anneau, bien vu